Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem tych liczb z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), które mają rozwinięcie dwójkowe postaci \(\displaystyle{ 0,c_1c_2c_3...}\) (cyfry \(\displaystyle{ c_i \in \left\{ 0,1\right\}}\)), spełniające warunek \(\displaystyle{ c_{i-1}c_{i+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ i}\) parzystych. Dowieść, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem miary zero.
Jak to zrobić?
Rozwinięcie dwójkowe
-
szw1710
Re: Rozwinięcie dwójkowe
Trzeba sobie wyobrazić jak wygląda konstrukcja tego zbioru. Coś podobnego do konstrukcji zbioru Cantora.
Wskazówka: podzielmy przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) na połowę. Wtedy \(\displaystyle{ c_1=0}\) mamy dla \(\displaystyle{ x\in \left[0,\frac{1}{2}\right)}\), zaś \(\displaystyle{ c_1=1}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left[\frac{1}{2},1\right].}\) Dalej analizujemy drugą cyfrę \(\displaystyle{ c_2}\). Mamy \(\displaystyle{ 00}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ 01}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ 10}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) i \(\displaystyle{ 11}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) do \(\displaystyle{ 1}\). Więc z naszego zbioru liczby z trzeba cyframi \(\displaystyle{ 001}\) są od \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), liczby z \(\displaystyle{ 011}\) od \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), liczby z \(\displaystyle{ 100}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) i liczby z \(\displaystyle{ 111}\) od \(\displaystyle{ \frac{7}{8}}\) do \(\displaystyle{ 1}\).
Kolejny krok - dodanie czwartej cyfry - niczego nie zmieni, bo ta cyfra może być dowolna. Na piątym kroku tam gdzie na trzecim było zero, dajemy jedynkę, a tam gdzie jedynka - zero. Więc wycinamy połowę przedziału. Itd.
Tak odkrywaj poszczególne etapy konstrukcji, licz miary odpowiednich sum przedziałów i oblicz ich granicę (skonstruowany ciąg zbiorów jest zstępujący).
Zrób jeszcze ze dwa kroki, a zobaczysz zasadę. Niech \(\displaystyle{ A_n}\) będzie zbiorem otrzymanym na \(\displaystyle{ n}\)-tym etapie konstrukcji. Kroki nieparzyste nie będą naruszać zbioru \(\displaystyle{ A_n}\), a kroki nieparzyste tak - wytną z niego połowę (długościowo) zbioru \(\displaystyle{ A_n.}\) Więc miary zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) to kolejno
\(\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{8},\dots}\)
Oczywiście ten ciąg zmierza do zera. A ciąg zbiorów \(\displaystyle{ (A_n)}\) jest zstępujący, a przekrój tej rodziny jest zbiorem opisanym w zadaniu.
Wskazówka: podzielmy przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) na połowę. Wtedy \(\displaystyle{ c_1=0}\) mamy dla \(\displaystyle{ x\in \left[0,\frac{1}{2}\right)}\), zaś \(\displaystyle{ c_1=1}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left[\frac{1}{2},1\right].}\) Dalej analizujemy drugą cyfrę \(\displaystyle{ c_2}\). Mamy \(\displaystyle{ 00}\) od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ 01}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ 10}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) i \(\displaystyle{ 11}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) do \(\displaystyle{ 1}\). Więc z naszego zbioru liczby z trzeba cyframi \(\displaystyle{ 001}\) są od \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), liczby z \(\displaystyle{ 011}\) od \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), liczby z \(\displaystyle{ 100}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) i liczby z \(\displaystyle{ 111}\) od \(\displaystyle{ \frac{7}{8}}\) do \(\displaystyle{ 1}\).
Kolejny krok - dodanie czwartej cyfry - niczego nie zmieni, bo ta cyfra może być dowolna. Na piątym kroku tam gdzie na trzecim było zero, dajemy jedynkę, a tam gdzie jedynka - zero. Więc wycinamy połowę przedziału. Itd.
Tak odkrywaj poszczególne etapy konstrukcji, licz miary odpowiednich sum przedziałów i oblicz ich granicę (skonstruowany ciąg zbiorów jest zstępujący).
Zrób jeszcze ze dwa kroki, a zobaczysz zasadę. Niech \(\displaystyle{ A_n}\) będzie zbiorem otrzymanym na \(\displaystyle{ n}\)-tym etapie konstrukcji. Kroki nieparzyste nie będą naruszać zbioru \(\displaystyle{ A_n}\), a kroki nieparzyste tak - wytną z niego połowę (długościowo) zbioru \(\displaystyle{ A_n.}\) Więc miary zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) to kolejno
\(\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{8},\dots}\)
Oczywiście ten ciąg zmierza do zera. A ciąg zbiorów \(\displaystyle{ (A_n)}\) jest zstępujący, a przekrój tej rodziny jest zbiorem opisanym w zadaniu.