Matematyka.pl

Przestrzeń z miarą dana jest przez zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ}\) z \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ P(\ZZ)}\) oraz miarą daną przez \(\displaystyle{ \mu( \{ n \} )= 3^{-|n|}}\). Niech \(\displaystyle{ f:\ZZ \rightarrow \RR}\) dana będzie wzorem \(\displaystyle{ f(n)=3n+2}\) . Oblicz
\(\displaystyle{ \int f \dd \mu}\), gdzie \(\displaystyle{ P=\{ 4n, n \in \ZZ \}}\).

Zgodnie z definicją całki
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{Z}} f \, \mathrm{d}\mu = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (3n+2) \mu ( \{ n \} )}\)

bartek118, Dziękuję bardzo. To wiem, ale niestety nie wiem co dalej? Jeszcze za \(\displaystyle{ \mu({n})}\) trzeba wstawić \(\displaystyle{ 3^{-|n|}}\). Niestety nie wiem jak to dalej policzyć.

Rozdziel na dwa szeregi - część dodatnia i część ujemna; suma wyjdzie \(\displaystyle{ -\infty}\).

Bez przesady, te szeregi są zbieżne.

a4karo pisze:Bez przesady, te szeregi są zbieżne.

Jasne - nie zauważyłem modułu przy \(\displaystyle{ n}\).