Matematyka.pl

pokazać, że suma wstępującego ciągu ciał jest ciałem.

Chodzi oczywiście o ciało zbiorów? Wystarczy sprawdzić warunki z definicji. Z którymi masz problem? (tu troszkę trudniejsza może być w sumie tylko addytywność...)

Jak wykazać te addytywność właśnie?

Oznaczmy kolejne ciała z ciągu przez \(\displaystyle{ F_1,F_2,...}\) itd. Weźmy teraz sumę zbiorów A i B należących do sumy ciał:
\(\displaystyle{ A \cup B: A,B \in \bigcup_{n=1}^{ \infty }F_n}\).
Oznacza to, że istnieją takie wskaźniki i oraz j, że \(\displaystyle{ A \in F_i}\) a \(\displaystyle{ B \in F_j}\). Załóżmy bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ i \le j}\); wtedy ponieważ ciąg ciał F jest wstępujący, to \(\displaystyle{ F_i \subset F_j}\), a zatem \(\displaystyle{ A \in F_j}\). Skoro zaś \(\displaystyle{ F_j}\) jest ciałem, to \(\displaystyle{ A \cup B \in F_j}\) jako suma dwóch zbiorów z tego samego ciała. A skoro ta suma należy do pewnego ciała z ciągu, to tym bardziej do jego sumy. Koniec dowodu

a jak udowodnić różnicę w drugim warunku na ciało?-- 17 paź 2010, o 23:11 --tzn. *dopełnienie?

Prościej niż addytywność Bierzesz dowolne \(\displaystyle{ A \in \bigcup_{n=1}^{ \infty }F_n}\). Z definicji sumy zbiorów ten warunek oznacza, że dla pewnego i \(\displaystyle{ A \in F_i}\). Skoro \(\displaystyle{ F_i}\) jest ciałem to jest zamknięte na dopełnienia, i \(\displaystyle{ A' \in F_i}\) a więc należy tym bardziej do całej sumy.

PS zauważ, że w przeciwieństwie do addytywności nie korzystaliśmy tu w ogóle z tego, że ciała tworzą ciąg rosnący, czyli suma dowolnego ciągu ciał jest zamknięta na dopełnienia.

Dziękuję serdecznie