Niech \(\displaystyle{ (X,\mathcal{A})}\) - przestrzeń mierzalna, \(\displaystyle{ \mu}\) - miara \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona. Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}_0\subseteq\mathcal{A}}\) będzie pod \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\). Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ f : x\to [ 0, +\infty)}\) jest funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)-mierzalną. Definiujemy miarę \(\displaystyle{ \mu_f(A)=\int_{A}fd\mu \ ,\ A\in\mathcal{A}_0}\) na \(\displaystyle{ (X,\mathcal{A}_0,\mu)}\). Zauważymy, że \(\displaystyle{ \mu_f\leq\mu \, \ \mathcal{A}_0}\), tzn. jeśli \(\displaystyle{ \mu(A)=0}\), to \(\displaystyle{ \mu_f(A)=0}\) dla \(\displaystyle{ A\in\mathcal{A}_0}\). Z tw. Radona-Nikodyma istnieje jedna (z dokładnością do zbioru miary zero) funkcja \(\displaystyle{ P=P_{\mathcal{A}_0}f=Pf}\) taka, że \(\displaystyle{ \int_Afd\mu=\int_APd\mu \ , \ A\in\mathcal{A}_0}\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu)=\{f : x\to [ 0, +\infty)\ \mu.p.w\ \mathcal{A}-mierzalne\}}\). Pokazać, że
\(\displaystyle{ 1. \ P : \ \mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu)\to \mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu)}\)
\(\displaystyle{ 2.}\) Dla dowolnych \(\displaystyle{ f_1, f_2\in\mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu) \ , \ c_1,c_2\geq 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(c_1f_1+c_2f_2)=c_1Pf_1+c_2Pf_2}\)
\(\displaystyle{ 3. \ P \textbf{1}=\textbf{1} \
, \ P_{\mathcal{A}_0}f=f \ , \ f\in\mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu)}\)
\(\displaystyle{ 4. \ \int_XP_{\mathcal{A}_0}fd\mu=\int_Xfd\mu \ ,\ f\in\mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu)}\)
\(\displaystyle{ 5. \ \hbox{essup}|P_{\mathcal{A}_0}f|\leq\hbox{essup}|f|\ ,\ f\in\mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu)}\)
\(\displaystyle{ 6. \ f\leq g\Rightarrow P_{\mathcal{A}_0}f\leq P_{\mathcal{A}_0}g \ ,\ f, g\in\mathcal{L}^+(X,\mathcal{A},\mu)}\)
Jakieś wskazówki?