Matematyka.pl

Obliczyć wartość całki:
\(\displaystyle{ \int_{x>0,y>1}^{} \frac{x}{1+(xy)^3} \mbox{d}\lambda_2(x,y)}\)

Jaką zamianę zmiennych należy tu zastosować?

A jak policzyłeś całkę \(\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{t}{1+t^3} \, \mbox{d}t = \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}}\)?
Na ułamki proste czy jakoś inaczej?

max123321 pisze:A jak policzyłeś całkę \(\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{t}{1+t^3} \, \mbox{d}t = \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}}\)?
Na ułamki proste czy jakoś inaczej?

Ułamki proste

No można to rozłożyć na ułamki proste, nie powinno być problemu. Acz da się troszkę szybciej. Najpierw podstawmy \(\displaystyle{ u=t^3}\), wtedy otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{t}{1+t^3} \,\dd t=\frac 1 3 \int_{0}^{\infty} \frac{u^{-\frac 1 3}}{1+u} \,\dd u}\)
Jest to pewna reprezentacja funkcji beta:
\(\displaystyle{ \mathrm{B}(x,y)= \int_{0}^{+\infty} \frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}} \,\dd u}\)
dla \(\displaystyle{ \mathrm{Re} (x)>0, \ \mathrm{Re} (y)>0}\).
Tutaj \(\displaystyle{ x=\frac 2 3, \ y=\frac 1 3}\),
czyli mamy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{t}{1+t^3}=\frac 1 3\mathrm{B}\left( \frac 2 3, \frac 1 3\right) =\\=\frac 1 3 \frac{\Gamma\left( \frac 1 3\right)\Gamma\left( \frac 2 3\right) }{\Gamma(1)}}\)
i teraz korzystając ze wzorku
\(\displaystyle{ \Gamma(z)\Gamma(1-z)= \frac{\pi}{\sin(\pi z)}}\)
oraz z \(\displaystyle{ \Gamma(k)=(k-1)!, \ k\in \NN^+}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac 1 3 \frac{\Gamma\left( \frac 1 3\right)\Gamma\left( \frac 2 3\right) }{\Gamma(1)}= \frac{\pi}{3\sin \frac \pi 3} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}}\)