Matematyka.pl

Obliczyć całkę z formy \(\displaystyle{ w= \frac{y^2 \mbox{d}x -2xy \mbox{d}y}{x^2+y^4}}\) wzdłuż półokręgu \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right):x^2+y^2=1,y \ge 0\right\}}\) o początku \(\displaystyle{ (1,0)}\) i końcu \(\displaystyle{ (-1,0)}\).

Współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos (\phi) \\ \sin (\phi) \end{matrix}\right].}\)

Całka z dwu-formy różniczkowej:

\(\displaystyle{ \int_{\gamma}\omega^{1} = \int_{\{x^2+y^2=1,y\geq 0\}}\frac{y^2dx -2xydy}{x^2 +y^4}= \int_{0}^{\pi} \frac{-\sin ^3(t)dt -2\sin (t)\cos ^2(t)}{\cos ^2(t)+\sin ^4(t)}dt}\)


Stosujemy jedynkę trygonometryczną w liczniku i mianowniku funkcji podcałkowej:

\(\displaystyle{ \int_{\gamma}\omega = \int_{0}^{\pi}\frac{[1 +\cos ^2(t)][-\sin (t)]}{1 -\cos ^2(t)+\cos ^4(t)}dt =...}\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ \cos (t) = u, \ \ -\sin (t)dt= du}\)-- 3 cze 2018, o 12:13 --Panie Kraszewski co Pan tu moderował?

Ale jak my możemy w ogóle całkować wyrażenie w którym jest jednocześnie \(\displaystyle{ dx}\) i \(\displaystyle{ dy}\)?

Jaka jest definicja całki z formy różniczkowej?

janusz47 pisze: Całka z dwu-formy różniczkowej

Z jednoformy