Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f : \RR \ni x \rightarrow 2x-9 \in \RR}\) . Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie miarą borelowską na \(\displaystyle{ \RR}\) zdefiniowaną w następujący sposób: \(\displaystyle{ \mu(A)=L^1(g^{-1}(A))}\) , gdzie \(\displaystyle{ g :
[0,5] \ni x \rightarrow \max(3,-x^2+8x-9) \in \RR}\) . Obliczyć całkę : \(\displaystyle{ \int_{\RR} f d\mu}\) .
Podstawowa rzecz, czyli gdzie jaką wartość przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ g}\) , to wiadomo. Ale co dalej? Czy to nie sprowadza się później do liczenia całki na \(\displaystyle{ [0,5]}\) ?-- 23 sty 2018, o 17:24 --Widzimy, że zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) to \(\displaystyle{ [3,7]}\). Zatem\(\displaystyle{ g^{-1}(A)}\) ma sens dla \(\displaystyle{ A=[3,7]}\) właśnie. Gdyż poza tym funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest nieokreślona. Mamy zbiór pusty. Pomijamy zatem to przy liczeniu całki. Z tego wszystkiego wynika, że będziemy rozważać \(\displaystyle{ \mu([3,7])}\). Czy myślę w miarę poprawnie?

pawlo392 pisze:Widzimy, że zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) to \(\displaystyle{ [3,7]}\). Zatem\(\displaystyle{ g^{-1}(A)}\) ma sens dla \(\displaystyle{ A=[3,7]}\) właśnie. Gdyż poza tym funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest nieokreślona. Mamy zbiór pusty.

\(\displaystyle{ g^{-1}[A]}\) ma sens dla dowolnego \(\displaystyle{ A \subseteq \RR,}\) a uwaga, że \(\displaystyle{ g}\) jest nieokreślona poza \(\displaystyle{ [3, 7],}\) jest bez sensu. Poprawnie należy powiedzieć, że dla dowolnego \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\) jest \(\displaystyle{ g^{-1}[A] = g^{-1} \big[ A \cap [3, 7] \big],}\) w szczególności jeśli \(\displaystyle{ A \cap [3, 7] = \varnothing,}\) to \(\displaystyle{ g^{-1}[A] = \varnothing,}\) zatem \(\displaystyle{ \mu(A) = 0.}\)

Schematycznie mamy tu taką sytuację: jest przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X = [0, 5]}\) z miarą Lebesgue'a \(\displaystyle{ \lambda}\) na zbiorach borelowskich, przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ Y = \RR}\) i odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ g : X \to Y.}\) Zadajemy miarę \(\displaystyle{ \mu}\) na \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciele borelowskich podzbiorów \(\displaystyle{ Y}\) wzorem \(\displaystyle{ \mu(B) = \lambda( g^{-1} ).}\) Mamy ponadto funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f : Y \to \RR.}\)

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}

\draw (0, 0) ellipse (1 and 2);
\node at (-1, 2) { $X$ };
\node at (0, -2.2) { $\lambda$ };

\draw (4, 0) ellipse (0.5 and 2);
\node at (3.5, 2) { $Y$ };
\node at (4, -2.2) { $\mu$ };

\draw[->, bend left] (1.5, 0) to [out=15, in=165] (3, 0);
\node at (2.25, 0) [below] { $g$ };
\draw[->, dashed] (1.5, -2.2) to (3, -2.2);

\draw (8, -2) -- (8, 2) node [right] { $\RR$ };

\draw[->, bend left] (5.5, 0) to [out=15, in=165] (7, 0);
\node at (6.25, 0) [below] { $f$ };

\end{tikzpicture}}\)

Zachodzi następujący fakt:

\(\displaystyle{ \int \limits_Y f(y) \, \dd \mu(y) = \int \limits_X f(g(x)) \, \dd \lambda(x).}\)