Matematyka.pl

Proszę o rozwiązanie tego zadania:

Udowodnić, że nieujemna funkcja mierzalna \(\displaystyle{ f:R \rightarrow \mathbb{R}}\) jest całkowalna wtedy i tylko wtedy gdy zbiór
\(\displaystyle{ B = \{ \int_{R} g d\mu : G \le f,}\) g jest mierzalną funkcją prostą \(\displaystyle{ \}}\)
jest ograniczony. W tym przypadku \(\displaystyle{ \int_{R} f d\mu =}\) sup B.

jaka była definicja całkowalności?

Przepraszam, czy widzieli Państwo zbiór mierzalny w sensie Lebesgue'a o mierze ujemnej?
Niektórzy widzieli zbiór niemierzalny.

Przepraszam za ironię.

sathan pisze:Przepraszam, czy widzieli Państwo zbiór mierzalny w sensie Lebesgue'a o mierze ujemnej?
Niektórzy widzieli zbiór niemierzalny.

Przepraszam za ironię.

ale o co chodzi?

Proszę wybaczyć ironię, lecz całkowanie po zbiorze miary ujemnej rzeczywiści prowadzi do sprzeczności.

Jeśli chodzi o pojęcie zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue'a, to konstrukcja takiego zbioru polega na wprowadzeniu na odcinku <-1, 1> relacji równoważności zdefiniowanej dla każdych dwóch punktów odcinka jako przynależność różnicy ich współrzędnych do zbioru liczb wymiernych.

Twierdzenie o podziale zbioru na klasy abstrakcji pozwala na znalezienie z zastosowaniem aksjomatu wyboru wskazuje na istnienie zbioru mającego dokładnie jeden punkt wspólny z każdą z klas abstrakcji.

Pokazuje się w oparciu o podstawy teorii miary, że zbiór ten jest niemierzalny.

Proszę wybaczyć brak ścisłości.

Ale jaki to ma związek z tematem?

przepraszam odpowiedz miała trafić na forum o mierzalności zbiorów.
Proszono o szkic dowodu, więc podałem.\(\displaystyle{ }\)