Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \lambda\in (0,1)}\), \(\displaystyle{ k\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ \Sigma=\{c_1,\ldots, c_k\}}\) będzie skończonym ciągiem liczb rzeczywistych. Dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\) niech \(\displaystyle{ \mathbb P_n}\) będzie rozkładem prawdopodobieństwa na \(\displaystyle{ \mathcal B(\RR)}\) danym przez wzór

\(\displaystyle{ \mathbb P_n=\frac1k\left(\delta_{c_1\lambda^n}+\dots+\delta_{c_k\lambda^n}\right)}\),

gdzie \(\displaystyle{ \delta}\) to delta Diraca. Gdy rozważymy przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ \Sigma^\NN}\) z miarą produktową, to \(\displaystyle{ \PP_1*\dots*\PP_n}\) (\(\displaystyle{ *}\) oznacza splot) jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y_n}\) o wzorze \(\displaystyle{ Y_n(\omega_1,\omega_2,\ldots)=\sum_{i=1}^n\omega_i\lambda^i}\).

Chcę pokazać, że ciąg miar \(\displaystyle{ (\PP_1*\dots*\PP_n)_n}\) jest słabo zbieżny do pewnej miary probabilistycznej \(\displaystyle{ \PP}\), która jest rozkładem zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) o wzorze \(\displaystyle{ Y(\omega_1,\omega_2,\ldots)=\sum_{i=1}^\infty\omega_i\lambda^i}\), a ponadto zbiór

\(\displaystyle{ E=\left\{\sum_{n=1}^\infty a_n\lambda^n\colon (a_n)\in \{c_1,\ldots,c_k\}^{\NN}\right\}}\)

jest nośnikiem miary \(\displaystyle{ \PP}\).

matmatmm pisze: 6 cze 2024, o 13:34Chcę pokazać, że ciąg miar \(\displaystyle{ (\PP_1*\dots*\PP_n)_n}\) jest słabo zbieżny do pewnej miary probabilistycznej \(\displaystyle{ \PP}\), która jest rozkładem zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) o wzorze \(\displaystyle{ Y(\omega_1,\omega_2,\ldots)=\sum_{i=1}^\infty\omega_i\lambda^i}\)

Z definicji oznacza to, że dla dowolnej ograniczonej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int \limits_{\mathbb{R}} f \, \dd (\mathbb{P}_1 \ast \ldots \ast \mathbb{P}_n) = \int \limits_{\mathbb{R}} f \, \dd \mathbb{P}}\).

Z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie (dla miar obrazowych, ang. pushforward measure) jest to równoważne

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int \limits_{\Omega} f(Y_n(\omega)) \, \dd \omega = \int \limits_{\Omega} f(Y(\omega)) \, \dd \omega}\),

to zaś wynika wprost z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej.

matmatmm pisze: 6 cze 2024, o 13:34a ponadto zbiór

\(\displaystyle{ E=\left\{\sum_{n=1}^\infty a_n\lambda^n\colon (a_n)\in \{c_1,\ldots,c_k\}^{\NN}\right\}}\)

jest nośnikiem miary \(\displaystyle{ \PP}\).

Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y : \Sigma^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}}\) jest jednocześnie funkcją ciągłą na przestrzeni zwartej. Zbiór \(\displaystyle{ E}\) jest jej obrazem, więc jest to zbiór domknięty i oczywiście \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus E}\) ma miarę zero. Stąd wynika, że nośnik jest podzbiorem \(\displaystyle{ E}\). By wykazać zawieranie odwrotne, wystarczy wykazać że dla dowolnego otwartego \(\displaystyle{ V \subseteq \mathbb{R}}\) jeśli \(\displaystyle{ V \cap E \neq \varnothing}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{P}(V) > 0}\). Jednak \(\displaystyle{ \mathbb{P}(V)}\) to z definicji miara \(\displaystyle{ Y^{-1}[V]}\) w \(\displaystyle{ \Sigma^{\mathbb{N}}}\), a ona jest dodatnia, bo \(\displaystyle{ Y^{-1}[V]}\) jest niepustym zbiorem otwartym.

A czy prawdą jest, że miara \(\displaystyle{ \mathbb P}\) na zbiorach jednopunktowych jest zerowa?

Mam jeszcze założenie, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) zbiór \(\displaystyle{ F_n=\left\{ \sum_{i=1}^na_i\lambda^i\colon (a_i)\in\Sigma^n\right\} }\) ma dokładnie \(\displaystyle{ |\Sigma|^n}\) elementów.