Matematyka.pl

Otóż potrzebuję udowodnić fakt, że granica punktowa ciągu odwzorowań mierzalnych jest mierzalna, tzn.:

\(\displaystyle{ Z: X_n: \Omega \mathbb{R} X_n(\omega) X(\omega) \ \forall \omega \Omega}\)

\(\displaystyle{ T: X - \mbox{mierzalna}}\)

Niech

\(\displaystyle{ W_{m,n}=\left\{\omega\in\Omega\left| n_1,n_2>m ft| X_{n_1}(\omega)-X_{n_2}(\omega)\right|m ft| X_{m_0}(\omega)-X(\omega)\right|}\)

Jednego przejścia nie widzę, mogłabyś jakoś szerzej uzasadnić, że zbiór

\(\displaystyle{ V_n:=\bigcup_{m\in \mathbb{N}}V_{m,n}}\)

jest mierzalny?

edit
Im dłużej na to patrzę to stwierdzam, że coraz mniej rozumiem.

Tak to widzę:

\(\displaystyle{ |X_a - X_b|}\) jest mierzalna, to jasne. I teraz za pomocą mierzalnosci zbiorów \(\displaystyle{ V_{m,n}}\) chcesz pokazać mierzalność funkcji \(\displaystyle{ |X_a-X|}\)? A z tego już by pewnie wynikało że \(\displaystyle{ X}\) mierzalna, jednak aby \(\displaystyle{ |X_a-X|}\) była mierzalna to każdy przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ \left(-\infty,\frac{1}{n}\right)}\) powinien być mierzalny a nie tylko suma zbiorów \(\displaystyle{ V_{m,n}}\)...

Krótko mówiąc czy prawdziwe są poniższe implikacje:

\(\displaystyle{ V_{m,n} \mbox{ mierzalny } \forall m, n \ \ => \ \ |X_a-X| \mbox{ mierzalna } \ \ => \ \ X \mbox{ mierzalna }}\)

?

Twoje wnioskowanie natomiast rozumiem ze tak wygladalo:

\(\displaystyle{ \bigcup_{m \in \mathbb{N}} V_{m,n} \mbox{ mierzalny } \forall n \ \ => \ \ |X_a-X| \mbox{ mierzalna } \ \ => \ \ X \mbox{ mierzalna }}\)

?

Trzeba wykonac przejscie graniczne z \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\), raz suma, raz przeciecie... Za duzo tych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) i faktycznie trudno sie polapac. Moze prosciej. Udowodnimy, ze supremum funkcji mierzalnych jest mierzalne, skad wynika, ze granica gorna tez jest mierzalna, a dla ciagow punktowo zbieznych granica gorna jest po prostu granica, wiec zakonczy to dowod:

Krok 1: Zalozmy, ze \(\displaystyle{ X=\sup\{X_n\}}\), wtedy

\(\displaystyle{ \{\omega|X(\omega)>\alpha\}=\bigcup_n\{\omega|X_n(\omega)>\alpha\}}\)

Stad \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna. To samo zachodzi oczywiscie dla \(\displaystyle{ \inf}\).

Krok 2: Zalozmy, ze \(\displaystyle{ X=\limsup\{X_n\}}\).

Niech \(\displaystyle{ Y_m(\omega)=\sup_{n qslant m}X_n(\omega)}\)

Funkcje \(\displaystyle{ Y_m}\) sa wiec mierzalne na mocy kroku 1. Ale

\(\displaystyle{ X(\omega)=\inf Y_n(\omega)}\)

Zatem \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna.

Krok 3:

Jesli \(\displaystyle{ X_n X}\), to \(\displaystyle{ \limsup X_n=X}\) i na mocy kroku 2 \(\displaystyle{ X}\) jest mierzalna.

Dla przejrzystości wypunktuję nurtujące mnie kwestie.

1. Przyznam, że nie widzę takiej równości:

\(\displaystyle{ \{\omega|X(\omega)>\alpha\}=\bigcup_n\{\omega|X_n(\omega)>\alpha\}}\)

Spróbowałem na przykładzie ją zobaczyć i prawa strona wyszła zdecydowanie większa.

np. rozważmy ciąg funkcyjny:

\(\displaystyle{ X_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ X_n(\omega)=\frac{(-1)^n}{n}\omega}\)

Każda z funkcji \(\displaystyle{ X_n}\) jest ciągła czyli na pewno jest mierzalna, tak samo widać, że granicą punktową ciągu będzie zmienna \(\displaystyle{ X(\omega) \equiv 0}\).

Zapiszmy dla tego przykładu rozważaną równość:

\(\displaystyle{ \{\omega| 0 >\alpha\}=\bigcup_n \left \{\omega|\frac{(-1)^n}{n}\omega>\alpha \right \}}\)

No i gdy weźmiemy np. dodatnią alfę to lewa strona będzie zbiorem pustym a prawa nie więc siłą rzeczy nie będą równe.

2. Czym by tutaj było \(\displaystyle{ \sup X_n}\)?
Supremum jest to najmniejszy z elementów ograniczających z góry. Teraz pytanie jak porównywać funkcje, moglibysmy to robić np w normie supremum ale widać że funkcja \(\displaystyle{ X}\) nie dominuje jednostajnie żadnej z funkcji w naszym ciągu...

3. Istnieje możliwosc ze w powyższych swoich dywagacjach coś przekręciłem dlatego zakładając, że krok pierwszy jest prawdziwy, tzn. że kres górny/dolny zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalny możemy iść z dowodem dalej. W sumie to dalej jest już dość jasne jednak jeszcze jedna rzecz mnie zastanowiła:

\(\displaystyle{ \lim \sup X_n = f_n ft(\sup_{k qslant n} X_k \right)}\)
Supremum w nawiasie zgodnie z krokiem pierwszym jest mierzalne, teraz aby stosować dalej krok pierwszy musimy wiedzieć, że \(\displaystyle{ \sup_{k qslant n} X_k}\) jest poza tym iż mierzalny to jeszcze zbieżny, skąd to wiemy? Ty tutaj stwierdziłaś, że \(\displaystyle{ Y_m}\) są mierzalne (nic nie mówiąc o ich zbieżności) więc ich infimum jest mierzalne, być może jest to oczywiste ale nie widze tego.

Drizzt pisze: 1. Przyznam, że nie widzę takiej równości:

\(\displaystyle{ \{\omega|X(\omega)>\alpha\}=\bigcup_n\{\omega|X_n(\omega)>\alpha\}}\)

Przeciez \(\displaystyle{ X>X_n}\), jako ze w tym przypadku \(\displaystyle{ X = \sup X_n}\).

\(\displaystyle{ Y_m}\) sa mierzalne, jako suprema zbiorow funkcji mierzalnych, co jest pokazane w kroku 1. Zbieznosc nie ma tu nic do rzeczy.

Reszta tak samo oczywista... Nie szkoda ci czasu pisac? Masz gotowca, wystarczy go zrozumiec.

Powtorze to moze:

1. Pokazujemy, ze \(\displaystyle{ f=\sup f_n}\) jest mierzalna, o ile \(\displaystyle{ f_n}\) sa mierzalne.
2. Korzystajac z 1, pokazujemy, ze \(\displaystyle{ f=\limsup f_n}\) jest mierzalna, o ile \(\displaystyle{ f_n}\) sa mierzalne

Do tej pory nie ma mowy o zbieznosci.

3. Skoro \(\displaystyle{ f_n f}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ \limsup f_n = f}\). Ale na mocy 2 wiemy, ze jesli \(\displaystyle{ f_n}\) byly mierzalne, to \(\displaystyle{ \limsup f_n}\) tez. Tym bardziej \(\displaystyle{ \lim f_n}\).

Nie potrafie prosciej wytlumaczyc.

Nie szkoda. Gdybym rozumiał (a przynajmniej był przekonany, że rozumiem) to bym nie pisał.

No ale już chyba rozumiem, po prostu zmyliło mnie to (a wygląda, że to zwykła kolizja oznaczeń u Ciebie), iż już na starcie rozważasz przypadek, w którym supremum ciągu funkcji jest równe jego granicy, a Ty je tylko niefortunnie oznaczyłaś tak samo jak granicę, tak? Bo przecież dalej w dowodzie nigdzie z tego nie korzystasz.

1. \(\displaystyle{ \sup f_n}\) i \(\displaystyle{ \inf f_n}\) mierzalne (gdzie \(\displaystyle{ f_n}\) to dowolny ciąg funkcji mierzalnych, niekoniecznie zbieżny)
2. \(\displaystyle{ \lim \sup f_n = f_n ft(\sup_{k qslant n} f_k \right)}\) mierzalne

i teraz dopiero jako \(\displaystyle{ f_n}\) biorę ciąg \(\displaystyle{ X_n}\), który dodatkowo ma granice \(\displaystyle{ X}\)

3. \(\displaystyle{ \lim \sup X_n = \lim X_n = X}\) mierzalne


Jeśli te 3 punkty, które napisałem powyżej są prawdą tzn., że już to rozumiem. No i dziękuje za pomoc.



Jeszcze mały niuans, analogicznie pokazujac mierzalnosc infimum wystarczy zmienić znak nierówności na przeciwny? Tzn.:

\(\displaystyle{ f = f f_n}\)

\(\displaystyle{ \{\omega|f(\omega)}\)

Albo zmienic znak, albo rozwazyc przeciecie. W obu przypadkach wychodzi zbior mierzalny jako suma/przeciecie rodziny zbiorow mierzalnych.

Nie twierdze, ze rozwiazania, ktore tu pisze sa ksiazkowe. Na ogol zaczynam pisac nie majac jeszcze rozwiazania i czasami laduje w slepej uliczce. Drugie podejscie (trzeci post w watku) tutaj bylo juz przemyslane.

Heh, wrócę do jeszcze jednej rzeczy...

Ktoś widzi równość

\(\displaystyle{ \{\omega|X(\omega)>\alpha\}=\bigcup_n\{\omega|X_n(\omega)>\alpha\}}\)

?

Z tej racji, że supremum jest większe lub równe od każdej funkcji z ciągu to zachodzi:

\(\displaystyle{ \{\omega|X(\omega)>\alpha\} \supset \{\omega|X_n(\omega)>\alpha\} \ \ \forall n}\)

No i skąd wiemy, ze sumując prawe strony po wszystkich n otrzymamy lewą stronę? Nie okaże się nigdy tak, że lewa pozostanie większa? Np wtedy gdy supremum będzie ograniczeniem górnym ale nie będzie należało do rozpatrywanego ciągu funkcji mierzalnych?

To raczej proste:

\(\displaystyle{ X(\omega)>\alpha \Rightarrow X(\omega)>\alpha+\varepsilon}\)

dla pewnego dodatniego \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Dla odpowiednio duzych \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ |X(\omega)-X_n(\omega)|\alpha}\).

To taki dowod od fundamentow - z aksjomatow liczb rzeczywistych i to bez najwazniejszego dla analizy, czyly aksjomacie o istnieniu kresow (wystarcza aksjomatyka minimalistyczna Tarskiego).

xiikzodz pisze:1. Pokazujemy, ze \(\displaystyle{ f=\sup f_n}\) jest mierzalna, o ile \(\displaystyle{ f_n}\) sa mierzalne.

xiikzodz pisze:Udowodnimy, ze supremum funkcji mierzalnych jest mierzalne, skad wynika, ze granica gorna tez jest mierzalna, a dla ciagow punktowo zbieznych granica gorna jest po prostu granica, wiec zakonczy to dowod

Z tego co pisałaś wnioskowałem, że do mierzalności kresów nie jest potrzebna zbieżność ciągu. A fakt \(\displaystyle{ |X(\omega)-X_n(\omega)|}\)

My bad. Zamiast dla odpowiednio duzych \(\displaystyle{ n}\) trzeba napisac istnieje \(\displaystyle{ n}\). Wobec dowolnosci \(\displaystyle{ \varepsilon}\) mamy rownosc. Argument ten sam, fakt \(\displaystyle{ X(\omega)-X_n(\omega)}\)

Dziękuje, już to widzę, po prostu dla każdego epsilon znajdzie się taki element zbioru, że dla kresu górnego zachodzi:
\(\displaystyle{ X_n > X - \epsilon > \alpha+\epsilon-\epsilon > }\)

Tak to by się nam ten epsilon drugich nie poskracał zbytnio.