Matematyka.pl

Wykazać, że jeśli miara zewnętrzna \(\displaystyle{ {\mu}^*}\) jest skończenie addytywna to \(\displaystyle{ {\mu}^*}\) jest miarą.

Wystarczy wykazać przeliczalną addytywność.

Niech więc \(\displaystyle{ \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty}}\) będzie ciagiem zbiorów parami rozłącznych. Wówczas:
\(\displaystyle{ \mu^{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right) \le \sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n})}\)
z definicji miary zewnętrznej.

Z drugiej strony ze skończonej addytywności:
\(\displaystyle{ \mu^{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right) = \sum_{n=1}^{N}\mu^{*}(A_{n}) + \mu^{*}\left(\bigcup_{n=N+1}^{\infty}A_{n}\right)\ge \sum_{n=1}^{N}\mu^{*}(A_{n}).}\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ N\to \infty}\) mamy:
\(\displaystyle{ \mu^{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right) \ge \sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n})}\)

Obie nierówności dają równość, co kończy dowód.