Matematyka.pl

Z definicji miary zewnętrznej Lebesgue'a. Przypomnij ją.

To nie taka definicja. Czego podzbiorem jest \(\displaystyle{ A}\)?

Tak jest. Reasumując

\(\displaystyle{ \lambda^{*}\left( A\right)=\inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}\left( b_{n}-a_{n}\right): A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}, b_{n} \right) \right\}}\)

Zadanie jest trochę dziwne, gdyż wymaga określenia miary Lebesgue'a, a ją to konstruujemy przez miarę zewnętrzną Lebesgue'a przy użyciu twierdzenia Caratheodory'ego.

Spróbuj wykorzystać fakt, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ B}\) jet mierzalny, to \(\displaystyle{ \lambda^{*}(B)=\lambda(B)}\). Weźmy teraz dowolny zbiór mierzalny \(\displaystyle{ F}\) taki, że \(\displaystyle{ A\subset F}\). Wtedy z własności miary zewnętrznej Lebesgue'a i powyższej uwagi mamy

\(\displaystyle{ \lambda^{*}(A)\le\lambda^{*}(F)=\lambda(F)}\).

Przechodząc do infimum po prawej stronie mamy

\(\displaystyle{ \lambda^{*}(A)\le\inf\{\lambda(F):A\subset F,\;F\text{ mierzalny}\}}\)

Nad nierównością w drugą stronę zastanów się samodzielnie. Wykorzystaj fakt, że zbiory postaci \(\displaystyle{ [a,b)}\) są mierzalne oraz infimum po mniejszej rodzinie jest większe lub równe od infimum po większej rodzinie. Więc infimum po wszystkich zbiorach mierzalnych jest mniejsze lub równe od infimum po sumach przedziałów, co jest definicją \(\displaystyle{ \lambda^{*}}\). Teraz to zapisz formalnie.

Tak

Miarę zewnętrzną Lebesgue'a definiujemy na prostej, bądź ogólniej, w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Sprecyzuj, czy chodzi tu o dowolną przestrzeń mierzalną z miarą wprowadzoną przez miarę zewnętrzną i twierdzenie Caratheodory'ego, czy też o \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\) ze zwykłą miarą (zewnętrzną) Lebesgue'a? Pierwsze zadanie robiłaś na prostej.

Dla miary Lebesgue'a na prostej bądź w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) zadanie nie ma sensu, gdyż cała przestrzeń jest miary nieskończonej.

Spróbuj zaprząc do roboty warunek Caratheodory'ego.

To nie rozumiem. Zacieśniamy miarę Lebesgue'a to jakiegoś zbioru mierzalnego \(\displaystyle{ X\subset\mathbb{R}}\) o mierze skończonej i \(\displaystyle{ A^c=X\setminus A}\)?

Pierwszy warunek to warunek równoważny definicji miary zewnętrznej, więc spełnia go każda miara zewnętrzna. Przez pierwszy warunek rozumiesz to, co na początku oznaczyłaś przez 1.?

Więc problem trzeba przeformułować. Mamy przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) i skończoną miarę zewnętrzną \(\displaystyle{ \lambda^{*}}\). Należy wykazać, że \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest mierzalny (tj. spełnia warunek Caratheodory'ego) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lambda^{*}(X\setminus A)=\lambda^{*} \left( X\right) -\lambda^{*} \left( A\right)}\).

Wykorzystaj do tego celu właśnie warunek Caratheodory'ego.