Witam,
weźmy dowolny ciąg \(\displaystyle{ \left\{ k_i \right\} _{i \in \mathbb{N} }}\) ściśle rosnący do nieskończoności.
niech \(\displaystyle{ a=0,c_1 c_2 c_3...\in \left[ 0,1\right]}\) jest rozwinięciem dziesiętnym oraz niech \(\displaystyle{ A=\left\{ a \in \left[ 0,1\right] : \forall_{i \in \mathbb{N} } 2 | c_{k_i} \right\}}\)
Czy \(\displaystyle{ \lambda_1(A)=0}\)?
Miara odcinka jednostkowego jest równa 1.
Miara zbioru tych liczb, które na \(\displaystyle{ k_1}\) miejscu mają cyfrę parzystą jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Miara zbioru tych liczb, które mają na \(\displaystyle{ k_{1}, k_{2},...,k_{i}}\) miejscu liczbę parzystą równa jest mierze zbioru tych liczb, które mają na \(\displaystyle{ k_{1}, k_{2},...,k_{i-1}}\) miejscu liczbe parzystą, pomnożonej przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
Zatem miara zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ 0}\)
Intuicyjnie, to jest tych liczb po prostu dwa razy mniej w każdym takim kroku.
Prawda to?