Matematyka.pl

Mam problem z takim zadaniem -

Ustalmy \(\displaystyle{ n \in N}\) i niech \(\displaystyle{ A_1,\ldots,A_n \subset \left[ 0,1\right]}\) będą zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue`a. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ l\left( A_1\right)+\ldots+l\left( A_n\right) > n+1}\), to \(\displaystyle{ l\left( A_1 \cap\ldots\cap A_n\right) > \ 0}\).

Bardzo proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ l\left( A_1\right)+\ldots+l\left( A_n\right) > n+1}\)

Domyślam się, że powinno być:

\(\displaystyle{ l\left( A_1\right)+\ldots+l\left( A_n\right) > n-1}\)

Zauważmy bowiem, że nawet gdy \(\displaystyle{ \forall i=1,2...n \ \ A_i=[0,1] \Rightarrow l\left( A_1\right)+\ldots+l\left( A_n\right)=n \cdot l([0,1])=n}\) Poza tym, jeśli \(\displaystyle{ A_i \subset [0,1] \Rightarrow l(A_i) \le 1}\)

Zajmijmy się zatem właściwym zadaniem..
Dowód niewprost:
Załóżmy, że mamy taką sytuację:
\(\displaystyle{ \forall i=1,2...n\ \ \ A_i \subseteq [0,1]}\).. oraz, że:

\(\displaystyle{ l\left( A_1\right)+\ldots+l\left( A_n\right) > n-1}\), jak również:

\(\displaystyle{ (*) \neg (l\left( A_1 \cap\ldots\cap A_n\right) > \ 0)}\)

Oczywiście z własności miary mamy, że
\(\displaystyle{ \forall A \ \ l(A) \ge 0}\)

Stąd i z (*) mamy, że \(\displaystyle{ l\left( A_1 \cap\ldots\cap A_n\right) =0}\)

Ale skoro tak, to w zbiorze indeksów ciągu zbiorów A: \(\displaystyle{ \exists i,j \in \mathbb{N}}\) takie, że \(\displaystyle{ A_i \cap A_j=\emptyset}\)

Ale zatem: \(\displaystyle{ l(A_i)+l(A_j) \le 1}\)

Stąd: \(\displaystyle{ l\left( A_1\right)+\ldots+l\left( A_i\right)+\ldots+l\left( A_j\right)+\ldots+l\left( A_n\right) \le (n-2) +1=n-1}\)
Sprzeczność z założeniem..

No faktycznie.. troszkę się pospieszyłem.. Niemniej na pewno istnieje taka para, której przekrój ma miarę Lebesgue'a równą 0.. a co następuje suma miar tych zbiorów jest maksymalnie 1.. Jeśli mnie pamięć nie myli, to jedynymi zbiorami niebędącymi zbiorami pustymi mającymi miarę lesbegue'a równą zero są zbiory złożone z pojedynczego punktu bądź punktów?

Dziękuję bardzo za rozwiązanie.

No dobrze.. Ale czy istnieje para takich zbiorów zawartych w odcinku [0,1], takich, że ich przekrój ma miarę równą zera a suma ich miar jest większa od 1? Bo rozumiem, że w tym tkwi problem..

Można dowodzić przez indukcję. Załóżmy, że mamy to dla układów \(\displaystyle{ n-1}\) zbiorów. Weźmy \(\displaystyle{ A_{1}, \ldots, A_{n}}\) spełniające założenia. Rozważmy zbiory \(\displaystyle{ A_{1} \cap A_{n}, A_{2}, \ldots, A_{n-1}}\). Na mocy równości \(\displaystyle{ l(A \cap B) = l(A) + l(B) - l(A \cup B)}\) mamy:
\(\displaystyle{ l(A_{1} \cap A_{n}) + \sum_{j=2}^{n-1} l(A_{j}) = \sum_{j=1}^{n} l(A_{j}) - l(A_{1} \cup A_{n}) \ge \sum_{j=1}^{n} }l(A_{j}) - 1 > n-2}\).
Zatem z założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ l(A_{1} \cap A_{n} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n-1})>0}\).
Co do poprzedniej próby rozwiązania, to nie jest jasne dlaczego z warunku \(\displaystyle{ l(A_{1} \cap \ldots \cap A_{n}) = 0}\) ma wynikać istnienie takich indeksów \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\), że \(\displaystyle{ l(A_{i} \cap A_{j})=0}\). Nawiasem mówiąc, to w ogólnym przypadku zwyczajna nieprawda.

Wasilewski pisze: Co do poprzedniej próby rozwiązania, to nie jest jasne dlaczego z warunku \(\displaystyle{ l(A_{1} \cap \ldots \cap A_{n}) = 0}\) ma wynikać istnienie takich indeksów \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\), że \(\displaystyle{ l(A_{i} \cap A_{j})=0}\). Nawiasem mówiąc, to w ogólnym przypadku zwyczajna nieprawda.

wskaż prosze kontrprzykład.. choćby dla trzech zbiorów..
pokaż takie trzy zbiory dla których:
\(\displaystyle{ l(A_1 \cap A_2) >0 \ \wedge l(A_1 \cap A_3)>0 \ \wedge l(A_2 \cap A_3)>0}\)

oraz przekrój wszystkich trzech ma miarę równą 0..
Jeśli piszesz, że w ogólnym przypadku to nieprawda to pokaż to

No to weźmy:
\(\displaystyle{ A_{1} = \left( 0, \frac{2}{3} \right) \\
A_{2} = \left( \frac{1}{3},1 \right) \\
A_{3} = \left( 0, \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{2}{3},1 \right)}\)

Dzięki