Proszę o pomoc przy rozwiązaniu zadania. Generalnie problem sprawia mi podpunkt (b).
Niech \(\displaystyle{ m^*}\) będzie miarą zewnętrzną Lebesgue'a na odcinku \(\displaystyle{ X=[0,1]}\).
Przypuśćmy, że zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\)jest mierzalny (czyli spełnia warunek Caratheodory'ego), zaś zbiór \(\displaystyle{ E}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ A \subset E \subset X}\).
(a) Wykazać, że \(\displaystyle{ m^*(E \backslash A) = m^*(E)-m(A)}\).
(b) Ponadto, gdy \(\displaystyle{ m^*(E)=m(A)}\), wykazać mierzalność zbioru \(\displaystyle{ E}\).
Miara Lebesgue'a
-
cotton-eye-joe
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 17 sty 2010, o 22:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 2 razy
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Miara Lebesgue'a
a) Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) spełnia warunek Carathéodory'ego, to \(\displaystyle{ m^{*}(E) = m^{*}(E\setminus A) + m^{*}(A\cap E).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A\cap E = A}\) oraz miara Lebesgue'a jest skończona na podzbiorach \(\displaystyle{ [0,1]}\) to otrzymujemy stąd naszą równość.
b) Jeśli \(\displaystyle{ m^{*}(E) = m(A),}\) to z punktu a) mamy \(\displaystyle{ m^{*}(E\setminus A) = 0.}\) Stąd wynika, że \(\displaystyle{ E\setminus A}\) spełnia warunek Carathéodory'ego, a więc \(\displaystyle{ E\setminus A}\) jest mierzalny, czyli \(\displaystyle{ E = (E\setminus A)\cup A}\) jest mierzalny.
Ponieważ \(\displaystyle{ A\cap E = A}\) oraz miara Lebesgue'a jest skończona na podzbiorach \(\displaystyle{ [0,1]}\) to otrzymujemy stąd naszą równość.
b) Jeśli \(\displaystyle{ m^{*}(E) = m(A),}\) to z punktu a) mamy \(\displaystyle{ m^{*}(E\setminus A) = 0.}\) Stąd wynika, że \(\displaystyle{ E\setminus A}\) spełnia warunek Carathéodory'ego, a więc \(\displaystyle{ E\setminus A}\) jest mierzalny, czyli \(\displaystyle{ E = (E\setminus A)\cup A}\) jest mierzalny.