Matematyka.pl

Witam. Mam takie oto zadanko:

Niech F oznacza rodzinę parami rozłącznych zbiorów z sigma ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Pokazać że jeśli dla każdego E \(\displaystyle{ \in}\) F mamy \(\displaystyle{ \mu_{L}(E)>0}\), to rodzina F jest co najwyżej przeliczalna.

Będę wdzięczny za pomoc.

Istotnym tutaj faktem jest, że miara Lebesgue'a jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona, tzn \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (czy ogólniej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\)) jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów skończonej miary Lebesgue'a (np \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest sumą rodziny przedziałów postaci \(\displaystyle{ (-n,n),}\) ogólniej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) - sumą kul o środku w \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu \(\displaystyle{ n}\)).

Pokażemy, że jeśli miara \(\displaystyle{ \mu}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ (X,\mathfrak{M})}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona i rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) składa się z parami rozłącznych podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) o mierze dodatniej, to \(\displaystyle{ \text{card}(\mathcal{F})\le \aleph_{0}.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \mu}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona, to istnieje ciąg \(\displaystyle{ (X_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) spełniający
\(\displaystyle{ \forall_{n}\ \mu(X_{n}) < \infty, \ \bigcup_{n\in \mathbb{N}}X_{n} = X.}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n,m}: = \{E\in \mathcal{F}\ : \ \mu(E\cap X_{n}) > \tfrac{1}{m}\}.}\)

Mamy teraz dla każdej co najwyżej przeliczalnej podrodziny \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n,m}^{0}\subset \mathcal{F}_{n,m}}\):
\(\displaystyle{ \mu(X_{n})\ge \sum_{E\in \mathcal{F}_{n,m}^{0}}\mu(E\cap X_{n})>\sum_{E\in \mathcal{F}_{n,m}^{0}} \tfrac{1}{m}}\)
więc rodzina \(\displaystyle{ \card{\mathcal{F}_{n,m}^{0}}}\) musi być skończona, a stąd również \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n,m}}\) jest skończona (bo każda jej co najwyżej przeliczalna podrodzina jest skończona).

Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \bigcup_{(n,m)\in \mathbb{N}^{2}}\mathcal{F}_{n,m} = \mathcal{F},}\)
bowiem \(\displaystyle{ \tfrac{1}{m}}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ \mu(E) \le \sum_{n=1}^{\infty}\mu(E\cap X_{n}),}\) więc jeśli \(\displaystyle{ \mu(E) > 0,}\) to dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) również musi być \(\displaystyle{ \mu(E\cap X_{n}) > 0.}\)

Zatem \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jako przeliczalna suma zbiorów skończonych jest co najwyżej przeliczalna.

Dziękuję za rozwiązanie. Mam jeszcze jedno zadanie które wydaje się proste ale nie udaje mi się go rozwiązać.

Niech E będzie zbiorem wszystkich liczb niewymiernych należących do przedziału (0,1). Pokazać że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon \in (0,1)}\) istnieje domknięty zbiór C \(\displaystyle{ \subset}\) R taki, że C \(\displaystyle{ \subset}\) E oraz \(\displaystyle{ \mu_{L}(C) > 1- \varepsilon}\)

To wynika np z takiej charakteryzacji zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a:
\(\displaystyle{ S\subset \mathbb{R}}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg zbiorów domkniętych \(\displaystyle{ F_{n}\subset \mathbb{R}}\) oraz zbiór miary zero \(\displaystyle{ Z}\) takie, że \(\displaystyle{ S = Z\cup\bigcup_{n=1}^{\infty}F_{n}.}\)
Kładąc u nas \(\displaystyle{ S = E}\) mamy
\(\displaystyle{ 1 = \mu(S) =\lim_{N\to\infty}\mu\left(\bigcup_{n=1}^{N}F_{n}\right),}\)
zatem dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ N}\) jest
\(\displaystyle{ \mu\left(\bigcup_{n=1}^{N}F_{n}\right) > 1 - \varepsilon.}\)
Wystarczy więc położyć \(\displaystyle{ C :=\bigcup_{n=1}^{N}F_{n}}\)