miara Lebesgue'a
miara Lebesgue'a
Jaka jest miara Lebesgue'a zbioru liczb odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) w których rozwinięciu dziesiętnym nie występują sąsiadujące siódemki
Ostatnio zmieniony 5 lut 2015, o 19:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1862
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
miara Lebesgue'a
Mozna znacznie prosciej z uzyciem rachunku prawdopodobienstwa... i pewnie bez uzycia tez... Moje rozwiazanie ma te wade/zalete, ze daje sie z niego precyzyjnie wyznaczyc to, co potem bedzie sie nazywalo \(\displaystyle{ P_n}\), czyli rachunek nie bedzie wymagal szacowania.
Niech \(\displaystyle{ A_n}\) oznacza zbior takich liczb, ktore do miejsca \(\displaystyle{ n}\) po przecinku nie maja sasiadujacych siodemek w rozwinieciu dziesietnym.
Niech:
\(\displaystyle{ P_n}\)
oznacza liczbe ciagow \(\displaystyle{ n}\)-elementowych o wartosciach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,...,9\}}\) bez sasiadujacych siodemek.
\(\displaystyle{ Q_n}\)
oznacza liczbe wszystkich ciagow n-elementowych o wartosciach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,...,9\}}\).
Wowczas miara zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) to
\(\displaystyle{ \frac{P_n}{Q_n}}\).
Nas interesuje liczba:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}}\)
Oczywiscie \(\displaystyle{ Q_n=10^n}\).
Niech
\(\displaystyle{ A_n}\) oznacza liczbe ciagow n-elementowych bez kolejnych siodemek, zakonczonych siodemka
\(\displaystyle{ B_n}\) oznacza liczbe ciagow n-elementowcy bez kolejnych siodemek, nie zakonczonych siodemka
Mamy wowczas:
\(\displaystyle{ P_n=A_n+B_n}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ A_n=B_{n-1}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ B_n=9\cdot P_{n-1}.}\)
Skladajac to w calosc otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_n=9(P_{n-2}+P_{n-1})}\)
skad
\(\displaystyle{ \frac{P_n}{Q_n}=\frac{9(P_{n-2}+P_{n-1})}{10^n}=\frac{9}{100}\cdot\frac{P_{n-2}}{Q_{n-2}}+
\frac{9}{10}\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mu(A_n)=\frac{9}{100}\mu(A_{n-2})+\frac{9}{10}\mu(A_{n-1})}\)
Ciag \(\displaystyle{ \mu(A_n)}\) jest zbiezny, bo zbior z zadania jest mierzalny, zatem szukana granica tego ciagu spelnia rownanie:
\(\displaystyle{ g=\frac{9}{100}\cdot g+\frac{9}{10}\cdot g=0,99g}\)
czyli
\(\displaystyle{ g=0}\)
i to jest odpowiedz.
Niech \(\displaystyle{ A_n}\) oznacza zbior takich liczb, ktore do miejsca \(\displaystyle{ n}\) po przecinku nie maja sasiadujacych siodemek w rozwinieciu dziesietnym.
Niech:
\(\displaystyle{ P_n}\)
oznacza liczbe ciagow \(\displaystyle{ n}\)-elementowych o wartosciach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,...,9\}}\) bez sasiadujacych siodemek.
\(\displaystyle{ Q_n}\)
oznacza liczbe wszystkich ciagow n-elementowych o wartosciach w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,...,9\}}\).
Wowczas miara zbioru \(\displaystyle{ A_n}\) to
\(\displaystyle{ \frac{P_n}{Q_n}}\).
Nas interesuje liczba:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}}\)
Oczywiscie \(\displaystyle{ Q_n=10^n}\).
Niech
\(\displaystyle{ A_n}\) oznacza liczbe ciagow n-elementowych bez kolejnych siodemek, zakonczonych siodemka
\(\displaystyle{ B_n}\) oznacza liczbe ciagow n-elementowcy bez kolejnych siodemek, nie zakonczonych siodemka
Mamy wowczas:
\(\displaystyle{ P_n=A_n+B_n}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ A_n=B_{n-1}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ B_n=9\cdot P_{n-1}.}\)
Skladajac to w calosc otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_n=9(P_{n-2}+P_{n-1})}\)
skad
\(\displaystyle{ \frac{P_n}{Q_n}=\frac{9(P_{n-2}+P_{n-1})}{10^n}=\frac{9}{100}\cdot\frac{P_{n-2}}{Q_{n-2}}+
\frac{9}{10}\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mu(A_n)=\frac{9}{100}\mu(A_{n-2})+\frac{9}{10}\mu(A_{n-1})}\)
Ciag \(\displaystyle{ \mu(A_n)}\) jest zbiezny, bo zbior z zadania jest mierzalny, zatem szukana granica tego ciagu spelnia rownanie:
\(\displaystyle{ g=\frac{9}{100}\cdot g+\frac{9}{10}\cdot g=0,99g}\)
czyli
\(\displaystyle{ g=0}\)
i to jest odpowiedz.