Matematyka.pl

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

Zbadaj \(\displaystyle{ L _{2} -}\)mierzalność następujących zbiorów:
\(\displaystyle{ A=\left\{ (x,y) \in \RR ^{2}: -2 \le xy < 4 \right\} ,\\
B=\left\{(x,y) \in \RR ^{2}: x ^{2}+y ^{2} \neq xy\right\} ,\\
A \cap B}\)

Wiem, że najlepiej byłoby zapisać te zbiory w postaci iloczynu kartezjańskiego i później już można skorzystać z odp. własności, ale nie wiem jak to zrobić. Inne pomysły mile widziane.

Do ich konstrukcji nie użyto aksjomatu wyboru, więc muszą być mierzalne.

A tak na poważnie - wypisz sobie te zbiory jako przecięcia i sumy zbiorów otwartych i domkniętych i będziesz miał mierzalność z definicji (a nawet borelowskość).

Dla zbioru \(\displaystyle{ B}\) rozważ sobie \(\displaystyle{ B'}\) i wskazówka

\(\displaystyle{ x^2+y^2=xy \Rightarrow xy \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2=xy \Rightarrow (x-y)^2=-xy \Rightarrow -xy \ge 0.}\)

Dziękuję serdecznie za pomoc.

Wiem, że ciężko znaleźć przykład zbioru, który nie jest mierzalny, ale prowadzący ćwiczenia nie akceptuje tego argumentu .