Matematyka.pl

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą probabilistyczną na \(\displaystyle{ Bor\mathbb{R}}\), która znika na punktach, to \(\displaystyle{ \mu}\) jest bezatomowa.
Bezatomowa, czyli nie istnieje atom: zbiór \(\displaystyle{ A\in Bor\mathbb{R}}\) miary dodatniej o własności: jeśli \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) i \(\displaystyle{ B\in Bor\mathbb{R}}\) to \(\displaystyle{ \mu(B)=0}\) lub \(\displaystyle{ \mu(B)=\mu(A)}\).

Idea mojego rozwiązania: może być głupie więc ukrywam, żeby się nie sugerować edit: poprawiłem definicję atomu, a rozwiązanie poniżej bardzo eleganckie

Do tej definicji atomu trzeba dorzucić jeszcze warunek \(\displaystyle{ \mu(A) > 0,}\) bo inaczej teza zadania nie jest prawdziwa.

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ A}\) jest atomem.

Oznaczmy \(\displaystyle{ A_{k}:= [k,k+1)\cap A, k\in \mathbb{Z}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest atomem, oraz parami rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A_{k}}\) w liczbie przeliczalnej sumują się do \(\displaystyle{ A,}\) to
\(\displaystyle{ \mu(A) = \mu(A_{k})}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}.}\)

Przyjmijmy \(\displaystyle{ I_{0} = [k,k+1].}\)
Zauważmy, że ponieważ z założenia \(\displaystyle{ \mu(\{k+1\}) = 0,}\) to \(\displaystyle{ \mu(I_{0}\cap A) = \mu(A).}\)

Dalej indukcyjnie definiujemy zstępujący ciąg przedziałów \(\displaystyle{ I_{n} = [x_{n},y_{n}]}\) taki, że
\(\displaystyle{ \mu(A) = \mu(I_{n}\cap A)}\) oraz \(\displaystyle{ y_{n} - x_{n}= \frac{x_{n-1} - y_{n-1}}{2} = 2^{-n}}\)

Mamy już \(\displaystyle{ I_{0}.}\)

Jeśli mamy określone \(\displaystyle{ I_{n} = [x_{n},y_{n}],}\) to ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest atomem oraz \(\displaystyle{ \mu(A) = \mu(I_{n}\cap A),}\) to musi być
\(\displaystyle{ \mu([x_{n}, \frac{x_{n} + y_{n}}{2})\cap A) = \mu (A)}\) lub \(\displaystyle{ \mu([\frac{x_{n}+y_{n}}{2}, y_{n})\cap A) = \mu(A).}\)

Określamy:
\(\displaystyle{ I_{n+1}:=\begin{cases}[x_{n}, \tfrac{x_{n} + y_{n}}{2}], \ \mu([x_{n}, \tfrac{x_{n} + y_{n}}{2})\cap A) = \mu(A) \\ [\tfrac{x_{n}+y_{n}}{2}, y_{n}], \ \mu([\tfrac{x_{n}+y_{n}}{2}, y_{n})\cap A) = \mu(A)\end{cases}}\)

Z twierdzenia Cantora \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{k} = \{x\}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ I_{n}}\) jest ciągiem zstępującym a nasza miara jest skończona, to:
\(\displaystyle{ \mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}\right) = \lim_{n\to\infty}\mu(I_{n}).}\)

Ale \(\displaystyle{ \mu(I_{n}) \ge \mu(A),}\) oraz \(\displaystyle{ \mu\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}\right) = \mu(\{x\}) = 0,}\)
zatem \(\displaystyle{ \mu(A) = 0}\) - sprzeczność.