Matematyka.pl

\(\displaystyle{ M}\) jest miarą na zbiorze \(\displaystyle{ X,f:X \rightarrow [0,\infty]}\) jest funkcją mierzalną, \(\displaystyle{ \int_{X}^{}f \mbox{d}M=c,0<c<\infty,\alpha}\) jest stałą dodatnią. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{X}^{}n(\ln(1+(f/n)^\alpha)) \mbox{d}M=\begin{cases} +\infty \text{ dla }0<\alpha<\infty \\c \text{ dla } \alpha=1\\0 \text{ dla } 1<\alpha<\infty\end{cases}}\).

Czy tak jest dobrze:
Chyba oczywiste jest, że jeśli \(\displaystyle{ x \ge 0,\alpha>1}\) to \(\displaystyle{ 1+x^\alpha \le (1+x)^\alpha}\), dalej z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ 1+x^\alpha \le (1+x)^\alpha <(e^x)^\alpha=e^{\alpha x}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 1+(f/n)^\alpha<e^{\alpha f/n} \Rightarrow \ln(1+f/n)^\alpha<\alpha f/n \Rightarrow n\ln(1+f/n)^\alpha<\alpha \cdot f}\), a zatem majoranta istnieje i jest równa \(\displaystyle{ \alpha \cdot f}\) (dla \(\displaystyle{ \alpha >1}\)). Zatem można wejść pod z granicą pod całkę.
\(\displaystyle{ \int_{X}^{} \lim_{n \to \infty}n\ln(1+f/n)^\alpha \mbox{d}M =\int_{X}^{} \lim_{n \to \infty} \frac{ \ln(1+f/n)^\alpha}{(f/n)^\alpha}(f/n)^\alpha \cdot n \mbox{d}M=}\)\(\displaystyle{ \int_{X}^{}0\mbox{d}M=0}\)

Teraz dla \(\displaystyle{ \alpha <1}\) sprawdzam założenia lematu Fatou:
\(\displaystyle{ f_n}\) jest funkcją całkowalną jako złożenie funkcji całkowalnych, i granica punktowa tego ciągu funkcji to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \ln(1+f/n)^\alpha}{(f/n)^\alpha}(f/n)^\alpha \cdot n \mbox{d}M=+\infty}\). Oznaczmy tą granicę przez \(\displaystyle{ f}\).
Zatem z lematu Fatou wynika, że \(\displaystyle{ \int_{X}^{} f \le \lim_{n \to \infty}\int_{X}^{}n\ln(1+(f/n)^\alpha) \mbox{d}M}\), a zatem ta ostatnia musi być równa \(\displaystyle{ +\infty}\).

Natomiast dla \(\displaystyle{ c=1}\) dostajemy (ponownie z tamtej majoranty), że można wejść z granicą pod całkę.

\(\displaystyle{ \int_{X}^{} \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+f/n)}{f/n} \cdot f/n \cdot n \mbox{d}M= \int_{X}^{}f \mbox{d}M=c}\).

Czyli wszystkie granice zachodzą. Zgadza się?

Pozwolę sobie poczynić kilka uwag.

1. Uzupełnię może uzasadnienie nierówności \(\displaystyle{ 1+x^{\alpha}\le (1+x)^{\alpha}}\) gdy \(\displaystyle{ x\ge 0, \ \alpha\ge 1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) i \(\displaystyle{ \alpha\ge 1}\), to \(\displaystyle{ 1+x^{\alpha}\le 1+x\le (1+x)^{\alpha}}\), natomiast jeżeli \(\displaystyle{ x>1}\), to mamy (dzielenie przez \(\displaystyle{ x^{\alpha}}\) stronami)
\(\displaystyle{ 1+x^{\alpha} \le (1+x)^{\alpha} \Leftrightarrow x^{-\alpha}+1\le \left( x^{-1}+1\right)^{\alpha}}\) i \(\displaystyle{ x^{-1}\in (0,1)}\), więc działa dlań rozumowanie z poprzedniego przypadku.

2. Skoro do zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) potencjalnie może należeć \(\displaystyle{ 0}\), to nie powinieneś pisać ostrej nierówności: \(\displaystyle{ 1+(f/n)^\alpha<e^{\alpha f/n}}\), tylko nieostrą.
Poza tym przy stosowaniu tw. o zbieżności zmajoryzowanej chyba pomieszałeś nawiasy, bo powinieneś stosować to tw. dla \(\displaystyle{ n\ln\left( 1+\left( \frac f n\right)^{\alpha} \right)}\), a nie dla
\(\displaystyle{ n\ln\left( 1+ \frac f n\right)^{\alpha}}\), coś tu chyba odrobinę poplątałeś. Ale akurat tu wystarczą kosmetyczne poprawki.
3. Niestety nie rozumiem sposobu, w jaki stosujesz tutaj lemat Fatou (przypadek \(\displaystyle{ \alpha\in (0,1)}\)). Czy mógłbyś przytoczyć takie jego sformułowanie, z którego tutaj korzystasz?
4. Granice nie mogą zachodzić, nie są słońcem (zachodzić może też pewna własność).
Pozdrawiam.

No masz rację. Odniosę się tylko do punktu 3. Z lematu Fatou korzystam w takiej formie jak jest na wikipedii: , tylko bez punktu c).