Matematyka.pl

Witam mam kilka pytań.

Mam zadanie sprawdzić czy funkcja jest miarą/miarą zewnętrzną.

Weźmy np. funkcję \(\displaystyle{ f:= \prod_{a \in a}a}\) gdzie zbiór \(\displaystyle{ \Omega=\left\{ 1,2,3\right\}}\)
gdzie miara zbioru pustego jest zero.
Najpierw wyznaczam wszystkie pozbiory zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) czyli : \(\displaystyle{ \left\{1 \right\},\left\{ 2\right\},\left\{ 3\right\},\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3\right\},\left\{ 2,3\right\}, \left\{ 1,2,3\right\}}\)

Sprawdzam czy jest miarą (bo jak jest miarą to jest i miarą zewnętrzną, tutaj łatwo bo zbiory muszą być rozłączne). Tutaj wyszło że nie jest miarą, bo \(\displaystyle{ u(\left\{ 1,2,3\right\} \neq u(\left\{ 1\right\})+u(\left\{ 2\right\})+u(\left\{ 3\right\})}\). Tylko teraz jak sprawdzić czy to miara zewnętrzna? Ile przypadków będzie trzeba sprawdzić, skoro nie ma założenia że zbiory są rozłączne? Jak to po kolei robić żeby sie nie pogubić?


I ostatnie. Moglby ktos podeslac link do dowodu ze przeciecie dowolnej ilosci sigma algebr jest sigma algebra? Na wykladzie wykladowca uzywal raz literki i a raz "jota" na sigma algebre. Moze ja cos pokrecilem ale nw czemu raz uzywal tego a raz tego.

Teoriomnogościowiec płakał jak czytał \(\displaystyle{ a\in a}\). Popraw trochę te oznaczenia. Rozumiem, że funkcją zbioru jest tutaj iloczyn jego wszystkich elementów.
Miarą to istotnie nie jest, ale o ile dobrze rozumiem, to Twoje uzasadnienie jest błędne, gdyż
(jeśli poprawnie zinterpretowałem definicję) \(\displaystyle{ f\left( \left\{ 2\right\} \right) =2}\) itd. zaś akurat \(\displaystyle{ 1\cdot 2\cdot 3=1+2+3=6}\), ale za to np.
miara zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\} \cup\left\{ 3\right\}=\left\{ 1,2,3\right\}}\) jest równa \(\displaystyle{ 6}\), a nie \(\displaystyle{ 5}\).
Czy jest miarą zewnętrzną? Ja nawet nie pamiętam, co to jest miara zewnętrzna. Ale artykulik z wiki sugeruje, że wymagana jest podaddytywność (nawet przeliczalna podaddytywność), tymczasem zaś
\(\displaystyle{ u\left( \left\{ 2,3\right\} \right) =6>u\left( \left\{ 2\right\} \right) +u\left( \left\{ 3\right\} \right)}\).

Co do dowodu z przekrojem sigma algebr, to jest bardzo łatwe, idzie od razu z definicji przekroju (i z tego, że poszczególne sigma algebry spełniają odpowiednie aksjomaty), spróbuj sam.

-- 22 lis 2017, o 19:36 --

Ale to dziwne, żeby zrobić błąd w zadaniu, które można sprawdzić na palcach, a aż takiej presji czasu nie ma, więc może źle rozumiem definicję tej funkcji. :s
EDIT: sam piszę, że to nie miara, a w pierwszym zdaniu napisałem „miarą zbioru", no cóż, nie ma to jak wewnętrzna sprzeczność wypowiedzi. Co najwyżej funkcją zbioru można to nazwać.

Zerknąłem jeszcze do zeszytu i trochę sobie to za bardzo komplikowałem Już rozumiem, jeszcze dziś w tym poście spytam o poprawność rozwiązania pewnego zadania, póki co dzięki-- 22 lis 2017, o 20:47 --Wyznaczyć całkę funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^2}\) wzgledem miary \(\displaystyle{ \mu=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}\delta_{1/n}}\)

Robię to tak: \(\displaystyle{ \int_{R}fd\mu= \int_{R}^{}t^2d( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2 ^{n} }}\delta_{1/n})= \sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{1}{2 ^n}) ^{2} \cdot \frac{1}{3 ^{n} }= \sum_{n=1}^{ \infty }( \frac{1}{12})^n= \frac{1}{11}}\)

Dobrze?