jak policzyc taka całke Lebesgue'a

aniolekkkkk · Post autor: **aniolekkkkk** » 3 lut 2010, o 00:11

\(\displaystyle{ \int\limits_{\mathbb{R}}f d\lambda}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n}2^n \chi_{A_{n}}}\)
przy czym \(\displaystyle{ A_{n}=\left( n,n+\frac{1}{4^n}\right).}\)

Post autor: **Zordon** » 3 lut 2010, o 00:37

\(\displaystyle{ \int_{[0,n)}fd\lambda = \int_{[0,n)} \sum_{k=0}^{n-1}2^k\chi{_{A_k}} d\lambda= \sum_{k=0}^{n-1}2^k\lambda(A_k)=\sum_{k=0}^{n-1}2^k \frac{1}{4^k}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^k}}\)

wystarczy przejść z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończności (poprawność wynika z tw. o zbieżności monotonicznej)