Matematyka.pl

Podać przykład niemierzalnej w sensie Lebesgue'a funkcji \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) takiej, że \(\displaystyle{ f^{-1}(\{a\})}\) jest zbiorem borelowskim dla każdego \(\displaystyle{ a \in R}\)

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue'a i takim, że \(\displaystyle{ |A|=\mathfrak{c}}\) oraz \(\displaystyle{ |\mathbb{R}\setminus A|=\mathfrak{c}}\). Za \(\displaystyle{ A}\) wystarczy wziąć klasyczny zbiór z konstrukcji podanej przez Vitaliego, bo on spełnia te założenia. Teraz bierzemy bijekcję \(\displaystyle{ g_1:A\rightarrow (0,1)}\) oraz bijekcję \(\displaystyle{ g_2:\mathbb{R}\setminus A\rightarrow \mathbb{R}\setminus (0,1)}\). Następnie definiujemy \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\chi_A(x)\cdot g_1(x)+\chi_{\mathbb{R}\setminus A}(x)\cdot g_2(x)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Z tego wynika, że \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) jest zbiorem jednopunktowym dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ f^{-1}\left((0,1)\right)=A}\) jest zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue'a czyli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją niemierzalną.