Matematyka.pl

Cześć !

Próbuję sobie udowodnić, że :

Funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ \chi_A(x)}\) jest mierzalna \(\displaystyle{ \iff}\) \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny. \(\displaystyle{ A \subset \RR}\).

"\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)"

\(\displaystyle{ \chi_{A}(x)=\begin{cases}1&\text{gdy }x \in A\\ 0& \text{gdy }x \in A\end{cases}}\)

I wiem, że ta funkcja jest mierzalna.

Teraz widzę, że funkcja charakterystczyna jest sumą dwóch zbiorów. Przeciwobrazu \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) i przeciwobrazu \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\). I teraz nie wiem czy mogę z tego wywnioskować, że skoro \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna to i te dwa przeciwobrazy są. A przeciwobraz jedynki to nic innego jak \(\displaystyle{ A}\).

Czy to załatwia dowód z lewa na prawo?

Z góry dziękuję za odpowiedź.

miodzio1988, pewnie! Powinno być:

\(\displaystyle{ \chi_{A}(x)=\begin{cases}1&\text{gdy }x \in A\\ 0& \text{gdy }x \not\in A\end{cases}}\)

Ale co dokładnie jest nieprecyzjnego ? Mógłbyś trochę rozwinąć swoją wypowiedź?

miodzio1988, no tak czułem, że coś w tym miejscu kłamię... No dobra. To z definicji. Wiem, ze funkcja \(\displaystyle{ f : C \to \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ C \in \mathcal{M}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\) to pewne sigma ciało jest mierzalna o ile dla każdego \(\displaystyle{ c \in \RR}\) zbiory \(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR : f(x)<c \right\} \in \mathcal{M}}\).

My wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna. Czyli zbiory postaci \(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR :\chi_A<c\right\}}\) należa do sigma ciała \(\displaystyle{ \mathcal{M}}\).

Póki co jest ok?

miodzio1988, właśnie nad tym myślę co mam napisać. Wydaje mi się, że musze rozbić ten mój zbiór na sume.

miodzio1988, wiem, że musze udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ x \in \RR , \quad \chi_A(x)=1\right\}}\) jest mierzalny

miodzio1988, no właśnie nie wiem. Stoję w tym samym miejscu co kilka postów temu.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna. Zatem w szczególności \(\displaystyle{ \chi_A^{-1}(\{1\})}\) jest zbiorem mierzalnym. Co z tego wynika?

Załóżmy , że \(\displaystyle{ A}\) jest mierzalny. Wobec tego \(\displaystyle{ X\setminus A}\) jest mierzalny. Wybieramy dowolne \(\displaystyle{ a\in \RR}\) i sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ \{x:\chi_A(x)<a\}}\) jest mierzalny. Rozważ sensowne przypadki.

yorgin, dzięki wielkie : ) teraz to udowodniłem : )

yorgin pisze:Załóżmy, że \(\displaystyle{ \chi_A}\) jest mierzalna. Zatem w szczególności \(\displaystyle{ \chi_A^{-1}(\{1\})}\) jest zbiorem mierzalnym. Co z tego wynika?

Niestety mały minus u nas jest taki, że nie mówi się na wykładzie, że funkcja jest mierzalna, gdy przeciwobrazy zbiorów borelowskich są mierzalne. Ale w to miejsce proponowałbym posłużyć się definicją, lub prostym wnioskiem - można zapisać, że
\(\displaystyle{ \chi_A^{-1} (\{1\}) = \{ x \in X \ ; \ \chi_{A} (x) \geq 1 \},}\)
a to już w pełni rozwiązuje sprawę.

\(\displaystyle{ f^{-1}(\{b\})=f^{-1}((-\infty,b])\cap f^{-1}([b,+\infty))}\) więc dla odwzorowania mierzalnego \(\displaystyle{ f}\) przeciwobrazy singletonów też są mierzalne. Nie ma tu żadnej magii