Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\), to niech \(\displaystyle{ (x_n)_{n<\omega}\in\, ^{10}\omega}\) będzie ciągiem rozwinięć dziesiętnych liczby \(\displaystyle{ x}\) (jeśli ma ona dwa rozwinięcia - skończone i i nieskończone okresowe, to wybieramy to pierwsze; oczywiście utożsamiamy np. 0,15 z 0,15000000... oraz każdy element \(\displaystyle{ x}\) z odpowiadającym mu ciągiem \(\displaystyle{ (x_n)_{n<\omega}}\)). Czy funkcja \(\displaystyle{ f\colon [0,1]\to [0,1]}\) dana wzorem:

a) \(\displaystyle{ f(x)=(x_{2n})_{n<\omega}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=\left(\sum_{k\leq n}x_k\, \mbox{mod} 10\right)_{n<\omega}}\)

jest borelowska?