Matematyka.pl

Pisze właśnie pracę magisterską "Dyfeomorfizmy okręgu" potrzebuję do pracy tw kryłowa bogolubowa. Jeden z wykładowców nie znał tych nazwisk wiec moze opisze:) Na dowolnej zwartej przestrzeni metrycznej istnieje (podobno borelowska) miara niezmiennicza ze wzgledu na homeomorfizm. Jesli ktos ma dowód tego twierdzenia bede bardzo wdzieczny za pomoc.;]

Warto odświeżyć bo to bardzo ciekawe twierdzenie. Dowód wynika z twierdzenia Banacha-Alaoglu.

Dowód. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zwartą przestrzenią metryczną i niech \(\displaystyle{ T\colon X\to X}\) będzie homeomorfizmem. Z twierdzenia Riesza-Markowa-Kakutaniego miary borelowskie na \(\displaystyle{ X}\) to funkcjonały liniowe i ciągłe na \(\displaystyle{ C(X)}\).

Ustalmy \(\displaystyle{ x\in X}\) i niech \(\displaystyle{ \delta_x\in C(X)^*}\) będzie miarą Diraca skupioną w \(\displaystyle{ x}\). Zadamy teraz ciąg miar, które będą niejako uśredniały \(\displaystyle{ T}\) - wystarczy zadań je jako funkcjonały na \(\displaystyle{ C(X)}\):

\(\displaystyle{ \langle \mu_n, f\rangle = \int\limits_X f(y) \mathrm{d} \mu_n (y) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int\limits_X f \circ T^k (y) \mathrm{d} \delta_x(y)\qquad (f\in C(X)).}\)

Miary \(\displaystyle{ \mu_n}\) są wspólnie ograniczone, więc z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że istnieje taki podciąg \(\displaystyle{ (\mu_{n_j})_{j=1}^\infty}\) (tutaj używamy metryzowalności \(\displaystyle{ X}\), z której wynika metryzowalność kuli jednostkowej \(\displaystyle{ C(X)^*}\), a więc także ciągowa zwartość), który jest zbieżny w *-słabej topologii. Niech \(\displaystyle{ \mu}\) będzie granicą tego podciągu.

Dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f\in C(X)}\) mamy

\(\displaystyle{ \int\limits_X f \circ T \mathrm{d} \mu = \int\limits_X f \mathrm{d}\mu,}\)

a zatem \(\displaystyle{ \mu}\) jest \(\displaystyle{ T}\)-niezmiennicza. \(\displaystyle{ \square}\)

Witam,
czy w tym twierdzeniu (Kryłowa-Bogolubowa) konieczne jest założenie o metryzowalności przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), tzn. czy możemy pokazać istnienie takich borelowskich, niezmienniczych miar probabilistycznych na dowolnych zwartych przestrzeniach topologicznych?

Poza tym, w jakiej książce mogę znaleźć to twierdzenie?

Z góry dziękuję za pomoc.

Metryzowalna jest używana by przejść do podciągu zbieżnego. Dla ogólnych przestrzeni zwartych nie jest na ogół możliwe.

Czy mógłbym poprosić o dalsze wyjaśnienie, w którym miejscu rozumowanie się załamie jeśli odrzucimy metryzowalność przestrzeni \(\displaystyle{ X}\)? Tw. Banacha-Alaoglu wciąż gwarantuje nam zwartość domknięcia zbioru \(\displaystyle{ \{\mu_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\subset C(X)^*}\) (w słabej-\(\displaystyle{ \ast}\) topologii), a więc powinien istnieć zbieżny podciąg uogólniony \(\displaystyle{ (\mu_{n_{\lambda}})_{\lambda\in\Lambda}}\). Czy granica tego ciągu uogólnionego nie będzie spełniała żądanych warunków?

Ale wówczas ciągowa zwartość i zwartość to już nie to samo.

Tak, ze zwartości \(\displaystyle{ \overline{\{\mu_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}}}\) nie można wnioskować o istnieniu zbieżnego podciągu \(\displaystyle{ (\mu_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}}\), ale wciąż można wnioskować o istnieniu zbieżnego podciągu uogólnionego \(\displaystyle{ (\mu_{n_{\lambda}})_{\lambda\in\Lambda}}\) (stosuję tłumaczenie, ciąg uogólniony = net).

Co rozumiesz przez podciąg uogólniony \(\displaystyle{ (\mu_{n_{\lambda}})_{\lambda \in \Lambda}}\) ciągu \(\displaystyle{ \{ \mu_n : n \in \NN \}}\) ?

Stosuję następujące definicje:
Ciąg uogólniony (w \(\displaystyle{ X}\)) to dowolna funkcja \(\displaystyle{ \Lambda\rightarrow X\colon \lambda \mapsto x_{\lambda}}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią topologiczną, a \(\displaystyle{ \Lambda}\) jest zbiorem skierowanym.
Jeśli mamy dwa ciągi uogólnione \(\displaystyle{ (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda},\;(y_{\sigma})_{\sigma\in\Sigma}}\) (w \(\displaystyle{ X}\)) to mówimy, że \(\displaystyle{ (y_{\sigma})_{\sigma\in\Sigma}}\) jest podciągiem uogólnionym ciągu uogólnionego \(\displaystyle{ (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}}\) jeśli istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ f\colon \Sigma \rightarrow \Lambda}\) które:
- zachowuje porządek (\(\displaystyle{ f(\sigma)\preccurlyeq f(\sigma')}\) gdy \(\displaystyle{ \sigma\preccurlyeq\sigma'}\)),
- \(\displaystyle{ y_{\sigma}=x_{f(\sigma)}}\),
-\(\displaystyle{ f(\Sigma)\subset\Lambda}\) jest zbiorem ko-finalnym, tzn. dla każdego \(\displaystyle{ \lambda\in\Lambda}\) istnieje \(\displaystyle{ \sigma\in\Sigma}\) taka, że \(\displaystyle{ \lambda\preccurlyeq f(\sigma)}\)
.
W szczególności, dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})_{n\in\mathbb{N}}}\) jest ciągiem uogólnionym - wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \Lambda=\mathbb{N}}\).

Mogget pisze:Czy granica tego ciągu uogólnionego nie będzie spełniała żądanych warunków?

OK, nie znam się, ale moim zdaniem działa.

Mogget pisze:Czy mógłbym poprosić o dalsze wyjaśnienie, w którym miejscu rozumowanie się załamie jeśli odrzucimy metryzowalność przestrzeni \(\displaystyle{ X}\)? Tw. Banacha-Alaoglu wciąż gwarantuje nam zwartość domknięcia zbioru \(\displaystyle{ \{\mu_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\subset C(X)^*}\) (w słabej-\(\displaystyle{ \ast}\) topologii), a więc powinien istnieć zbieżny podciąg uogólniony \(\displaystyle{ (\mu_{n_{\lambda}})_{\lambda\in\Lambda}}\). Czy granica tego ciągu uogólnionego nie będzie spełniała żądanych warunków?

Metryzowalność \(\displaystyle{ X}\) jest potrzebna, by metryzowalna była kula jednostkowa w \(\displaystyle{ C(X)^*}\). A z kolei metryzowalność tej kuli jest potrzebna do dowodu, że miara graniczna \(\displaystyle{ \mu}\) jest \(\displaystyle{ T}\)-niezmiennicza. Samo istnienie podciągu zbieżnego ciągu miar \(\displaystyle{ \mu_n}\) nie jest istotne (choć prawdziwe przy naszych założeniach). Równie dobrze można wziąć zbieżny ciąg uogólniony (jeśli ktoś lubi takie ciągi), pod warunkiem że net \(\displaystyle{ n_{\lambda}}\) dąży do nieskończoności.
Tzn. jeśli \(\displaystyle{ X}\) nie jest metryzowalna, zaś \(\displaystyle{ \mu}\) jest granicą netu \(\displaystyle{ \mu_{n_{\lambda}}}\) jak wyżej, to będzie problem z dowodem \(\displaystyle{ T}\)-niezmienniczości \(\displaystyle{ \mu}\).

Ok, to próbujemy. Dowód będzie raczej dokładny, żeby można było łatwo wskazać błąd, jeśli takowy istnieje.

Z definicji mamy

\(\displaystyle{ \left< \mu_n, f \right> = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int \limits_X f \circ T^k(y) \, \dd \delta_x(y).}\)

[ A przy okazji: czy \(\displaystyle{ int limits_X f circ T^k(y) , dd delta_x(y)}\) to nie po prostu \(\displaystyle{ f \circ T^k(x)}\) ? ]

Dalej

\(\displaystyle{ \left< \mu_n, f - f \circ T \right> = \frac{1}{n} \Bigg[ \int \limits_X \big( f(y) - f \circ T^n(y) \big) \, \dd \delta_x(y) \Bigg] \qquad \bigg( = \frac{1}{n} \left( f(x) - f \circ T^n(x) \right) ? \bigg)}\)

zatem \(\displaystyle{ \left< \mu_n, f - f \circ T \right> \xrightarrow{n \to \infty} 0.}\)


Niech \(\displaystyle{ \left< \mu_{p(\sigma)} : \sigma \in \Sigma \right>}\) będzie podciągiem uogólnionym \(\displaystyle{ \left< \mu_n : n \in \NN \right>}\) zbieżnym do \(\displaystyle{ \mu,}\) tj. \(\displaystyle{ p : \Sigma \to \NN}\) jest kofinalna oraz

\(\displaystyle{ (\forall \sigma, \sigma' \in \Sigma) \big(\sigma \preccurlyeq \sigma' \Rightarrow p(\sigma) \le p(\sigma') \big)}\)

a ponadto \(\displaystyle{ \lim_{\sigma \in \Sigma} \mu_{p(\sigma)} = \mu.}\)


Wiemy zatem, że

\(\displaystyle{ \lim_{\sigma \in \Sigma} \left< \mu_{p(\sigma)}, f - f \circ T \right> = 0.}\)

Z definicji *-słabej topologii, dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f \in C(X)}\) przyporządkowanie \(\displaystyle{ C(X)^* \ni \nu \mapsto \left< \nu, f - f \circ T \right> \in \RR}\) jest ciągłe, zatem

\(\displaystyle{ \left< \mu, f - f \circ T \right> = \lim_{\sigma \in \Sigma} \left< \mu_{p(\sigma)}, f - f \circ T \right> = 0,}\)

tj. dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f \in C(X)}\) mamy

\(\displaystyle{ \int \limits_X f \, \dd \mu = \int \limits_X f \circ T \, \dd \mu.}\)

@Dasio11: Twój dowód jest dobry. Przepraszam za niepotrzebny post.

Dasio11 pisze:Wiemy zatem, że

\(\displaystyle{ \lim_{\sigma \in \Sigma} \left< \mu_{p(\sigma)}, f - f \circ T \right> = 0.}\)

A czy przypadkiem tu nie tkwi problem? Ciąg uogólniony to tak naprawdę podciąg, tyle, że możemy wielokrotnie wykorzystać ten sam indeks..... a zatem, czemu nie może się zdarzyć, że wykorzystamy przypadkiem nieskończenie wiele razy jeden indeks, gdzie powyższa wartość będzie niezerowa, a potem dopiero ruszymy dalej?-- 10 lip 2017, o 11:57 --Moim zdaniem wiemy jedynie, że \(\displaystyle{ 0}\) jest punktem skupienia tego podciągu. Nic więcej.

bartek118 pisze:Ciąg uogólniony to tak naprawdę podciąg, tyle, że możemy wielokrotnie wykorzystać ten sam indeks.....

O nie nieee, to coś bardziej ogólnego. Jeśli \(\displaystyle{ p : \Sigma \to \NN}\) jest taka jak w definicji podciągu uogólnionego, to niekoniecznie \(\displaystyle{ p(\sigma) \le p(\sigma') \Rightarrow \sigma \preccurlyeq \sigma',}\) czyli w diagramie Hassego \(\displaystyle{ \NN}\) możemy rozmnożyć każdy wierzchołek, ale możemy też usunąć wiele strzałek.

bartek118 pisze:a zatem, czemu nie może się zdarzyć, że wykorzystamy przypadkiem nieskończenie wiele razy jeden indeks, gdzie powyższa wartość będzie niezerowa, a potem dopiero ruszymy dalej?

Nie wiem, na ile dosłownie traktować Twoje pytanie. Oczywiście może się tak zdarzyć, ale zbieżność w ciągach uogólnionych nie polega na tym, że blisko granicy znajdują się wszystkie wyrazy z wyjątkiem skończenie wielu, tylko że znajdują się wszystkie wyrazy począwszy od pewnego \(\displaystyle{ \sigma_0.}\)

W każdym razie rozwinę argument, że z \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left< \mu_n, g \right> = 0}\) oraz faktu, że \(\displaystyle{ \left< \mu_{p(\sigma)} : \sigma \in \Sigma \right>}\) jest podciągiem \(\displaystyle{ \left< \mu_n : n \in \NN \right>,}\) wynika że \(\displaystyle{ \lim_{\sigma \in \Sigma} \left< \mu_{p(\sigma)}, g \right> = 0.}\)

Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0.}\) Istnieje takie \(\displaystyle{ n_0,}\) że dla \(\displaystyle{ n \ge n_0}\) mamy \(\displaystyle{ \left| \left< \mu_n, g \right> \right| \le \varepsilon.}\) Z faktu, że \(\displaystyle{ p : \Sigma \to \NN}\) jest kofinalna, wynika że istnieje takie \(\displaystyle{ \sigma_0,}\) że \(\displaystyle{ p(\sigma_0) \ge n_0.}\) Dla \(\displaystyle{ \sigma \succcurlyeq \sigma_0}\) mamy z monotoniczności \(\displaystyle{ p(\sigma) \ge p(\sigma_0) \ge n_0,}\) zatem \(\displaystyle{ \left| \left< \mu_{p(\sigma)}, g \right> \right| \le \varepsilon.}\) To oznacza, że

\(\displaystyle{ \lim_{\sigma \in \Sigma} \left< \mu_{p(\sigma)}, g \right> = 0.}\)