Matematyka.pl

Witam proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania.

\(\displaystyle{ A=\left\{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{a _{n} }{ 5^{n} }, a _{n} \in \left\{ 0,1,3,4\right\} \right\}}\)

Sprawdzić czy zbiór A jest borelowski (F sigma lub G delta) i wyznaczyć miarę A. Na zajęciach rysowaliśmy odcinek jednostkowy i po kolei wymazywaliśmy kawałki tylko nie mam pojęcia który kawałek i kiedy wymazujemy. Proszę o pomoc

Jest to zbiór liczb z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), w których zapisie w systemie piątkowym nie występuje \(\displaystyle{ 2}\). Ma on miarę zero, można na to patrzeć podobnie jak na zbiór Cantora, jak miałeś takie rysunki z wywalaniem odpowiednich kawałków z odcinka w k-tym kroku, to powinieneś sobie poradzić z małą modyfikacją tejże konstrukcji. Trzeba tylko zsumować miarę Lebesgue'a usuwanych odcinków i skonstatować, że jest taka sama, jak miara Lebesgue'a całego odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\).
Zacznę, a Ty skończysz, bo za dużo tu Leni (Riefenstahl, kręciła filmy dla Adolfa, a to…).
W pierwszym kroku dzielimy odcinek \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) na pięć równych długością (czyli miarą Lebesgue'a poniekąd), parami rozłącznych, i usuwamy odcinek \(\displaystyle{ \left[ \frac{2}{5}, \frac 3 5\right)}\).
W drugim kroku każdą z pozostałych czterech części też dzielimy na pięć części i w każdej wywalamy środkowy odcinek, tj. usuniemy w tym kroku takie zbiorki:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{2}{25}, \frac{3}{25}\right), \ \left[ \frac{7}{25}, \frac{8}{25}\right), \ \left[ \frac{17}{25}, \frac{18}{25}\right), \ \left[ \frac{22}{25}, \frac{23}{25}\right)}\)
- wszystkie, gdzie druga cyfra rozwinięcia piątkowego jest równa \(\displaystyle{ 2}\) z wyjątkiem tych, które już usunęliśmy w poprzednim kroku.
Dalej działaj sam (indukcyjnie można, jak to za mało formalne).

-- 21 lis 2017, o 17:59 --

To, że jest borelowski, to jest trywialne, ale nie pamiętam, jak się tego formalnie dowodzi. Pewnie zapisuje się jako przeliczalny przekrój tych zbiorów otrzymanych w różnych krokach, no i przekrój przeliczalnie wielu zbiorów borelowskich jest borelowski.

Mam coś takiego
\(\displaystyle{ u(A _{0})=1}\)
\(\displaystyle{ u(A _{1})=1- \frac{4}{5}}\) - po odjęciu jednego usuniętego kawałka
\(\displaystyle{ u(A _{2})=1- \frac{4}{5}- \frac{4}{25}}\) - odejmuje kolejne 4 kawalki
\(\displaystyle{ u(A _{3})=1- \frac{4}{5}- \frac{4}{25}- \frac{16}{125}}\) - teraz 16 kawałków

Zauważam że \(\displaystyle{ u(A _{n})=u(A _{n-1})- \frac{4 ^{n-1} }{5 ^{n} }}\)

Skoro tak to:

\(\displaystyle{ u(A)=1- \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{4 ^{k-1} }{5 ^{k} }=1- \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{4 ^{k-1} }{5 ^{k-1} }=0}\)

Tylko teraz jaki jest wniosek? Miara zbioru jest zero czyli jest borelowski? Jakiego jest typu? I czy wypisane wyżej obliczenia są w 100% poprawne i nie ma się do czego przyczepić? Bo na zajeciach odnotowalismy ze jest to rodzina zbiorow wstepujacych i ze

\(\displaystyle{ u( \bigcap_{n=1}^{ \infty }A _{n})= \lim_{ n\to \infty }u(A _{n})}\) . Jak to sie ma do tego zeby udowodnic ze A jest borelowski?

No najpierw należy stwierdzić, że jest borelowski jako przekrój przeliczalnie wielu zbiorów borelowskich (zbiory borelowskie tworzą \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało), potem dopiero można liczyć jego miarę.
To jest rodzina zbiorów zstępujących, a nie wstępujących. Tj. \(\displaystyle{ A_{k+1} \subset A_{k}}\) dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN}\), gdzie \(\displaystyle{ A_k}\) jest zbiorem powstałym w k-tym kroku.
Obliczenia są OK, ale tak czy inaczej korzystasz tu niejawnie z tego faktu z zajęć, tylko to jest rodzina zbiorów zstępujących, a nie wstępujących.
Ten przekrój jest na pewno typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\), bo ja tak mówię. \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) zresztą też jest, a to dlatego, że jest domknięty jako przekrój zbiorów domkniętych, bo możemy wziąć zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), a nie \(\displaystyle{ left[ a,b
ight)}\). Tak sobie w sumie pomyślałem, że
\(\displaystyle{ \frac{2}{5}=\frac{1}{5}+ \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{4}{5^k}}\) - zapomniałem, że zapis tak piątkowy, jak i dziesiętny itd. nie jest jednoznaczny. Więc nie powinniśmy wyrzucać tych krańców, bo możemy w nich przyjąć rozwinięcie nieskończone bez dwójek.
I te zbiory powinny być jednak takie:
\(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{5}\right], \left[ \frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right] , \left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right], \left[ \frac{4}{5}, 1\right]}\) itd. (domknięte).

Czyli po kolei rozumowanie powinno być takie?:

Rysuje po kolei kolejne zbiory i zauważam że są one zstępujące. Wobec tego:

\(\displaystyle{ A= \bigcap_{n=1}^{ \infty }A _{n}}\)

\(\displaystyle{ A _{n}}\) są borelowskie bo są domkniete, czyli \(\displaystyle{ A}\)jest borelowski jaki iloczyn mnogosciowy zbiorow borelowskich.

Teraz mogę policzyć miarę \(\displaystyle{ A}\). Zauważam że \(\displaystyle{ u(A _{n})=\left( \frac{4}{5} \right) ^{n}}\).

\(\displaystyle{ u(\bigcap_{n=1}^{ \infty }A _{n})= \lim_{n \to \infty }u(A _{n})= \lim_{n \to \infty }\left( \frac{4}{5} \right) ^{n} =0}\)

Czy takie rozwiązanie jest poprawne od początku do końca i niczego nie brakuje?

Zauważam że \(\displaystyle{ u(A _{n})=\left( \frac{4}{5} \right) ^{n}}\).

Jak już chcemy porządnie to zrobić, to tę równość przydałoby się udowodnić indukcyjnie (nie jest to trudne).

Kumam, dzięki za pomoc