Czy istnieje taka miara?
-
pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Czy istnieje taka miara?
Weźmy sobie zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{B}([0,1])}\). Czy istnieje taka miara \(\displaystyle{ \mu}\) przyjmująca jedynie wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) taka, że \(\displaystyle{ \mu (\left\{x \right\} )=0}\) oraz \(\displaystyle{ \mu([0,1])=1}\)
-
szw1710
Re: Czy istnieje taka miara?
Taka miara nie istnieje. Wykażę to nie wprost, przypuszczając, że taka miara jednak istnieje.
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \mu([a,c])=1}\), to z dwóch przedziałów domkniętych \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz \(\displaystyle{ [b,c]}\), jeden ma miarę zero, a drugi miarę \(\displaystyle{ 1}\). Inaczej miara przedziału \(\displaystyle{ [a,c]}\) miałaby wartość \(\displaystyle{ 2}\), co nie spełnia warunków zadania (oczywiście nie może być obu miar zerowych, bo wtedy \(\displaystyle{ \mu([a,c])=0}\) wbrew założeniu).
Można łatwo skonstruować wtedy zstępujący ciąg przedziałów domkniętych o miarach jeden i średnicach zmierzających do zera. Z twierdzenia Cantora przekrój tych przedziałów jest jednopunktowy i ma wobec tego miarę zero, zaś z własności miary musiałby mieć miarę \(\displaystyle{ 1}\) (miara przekroju zstępującego ciągu zbiorów o miarach skończonych jest granicą ciągu miar tych zbiorów).
Zacznijmy tak: skoro \(\displaystyle{ \mu([0,1])=1}\), to niech \(\displaystyle{ A_1}\) będzie tym z przedziałów \(\displaystyle{ \left[0,\frac{1}{2}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2},1\right]}\), który ma miarę \(\displaystyle{ 1}\). Przedział \(\displaystyle{ A_1}\) dzielimy na pół biorąc dwa przedziały domknięte i jako \(\displaystyle{ A_2}\) bierzmy ten o mierze \(\displaystyle{ 1}\). Itd.
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \mu([a,c])=1}\), to z dwóch przedziałów domkniętych \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz \(\displaystyle{ [b,c]}\), jeden ma miarę zero, a drugi miarę \(\displaystyle{ 1}\). Inaczej miara przedziału \(\displaystyle{ [a,c]}\) miałaby wartość \(\displaystyle{ 2}\), co nie spełnia warunków zadania (oczywiście nie może być obu miar zerowych, bo wtedy \(\displaystyle{ \mu([a,c])=0}\) wbrew założeniu).
Można łatwo skonstruować wtedy zstępujący ciąg przedziałów domkniętych o miarach jeden i średnicach zmierzających do zera. Z twierdzenia Cantora przekrój tych przedziałów jest jednopunktowy i ma wobec tego miarę zero, zaś z własności miary musiałby mieć miarę \(\displaystyle{ 1}\) (miara przekroju zstępującego ciągu zbiorów o miarach skończonych jest granicą ciągu miar tych zbiorów).
Zacznijmy tak: skoro \(\displaystyle{ \mu([0,1])=1}\), to niech \(\displaystyle{ A_1}\) będzie tym z przedziałów \(\displaystyle{ \left[0,\frac{1}{2}\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2},1\right]}\), który ma miarę \(\displaystyle{ 1}\). Przedział \(\displaystyle{ A_1}\) dzielimy na pół biorąc dwa przedziały domknięte i jako \(\displaystyle{ A_2}\) bierzmy ten o mierze \(\displaystyle{ 1}\). Itd.