Matematyka.pl

Witam, chciałbym prosić o sprawdzenie dowodu do drugiej części twierdzenia:

Miara \(\displaystyle{ \mu}\) na sigma ciele jest ciągła z dołu. Jeśli miara jest skończona, to jest ona również ciągła z góry.

Pierwszą część pokazałem. Co do drugiej, rozpatrujemy \(\displaystyle{ A_{1} \supset A_{2} \supset ...}\), czyli \(\displaystyle{ {A_{1}}^{c} \subset {A_{2}}^{c} \subset ...}\)

\(\displaystyle{ \mu \left( \bigcap_{n} A_{n} \right) = \mu \left( \left( {\bigcup_{n} {A_{n}}^{c}\right)}^{c}\right) = \mu \left( X \backslash \left( {\bigcup_{n} {A_{n}}^{c}\right) \right) \stackrel{\star}{=} \mu(X) - \mu \left( {\bigcup_{n} {A_{n}}^{c}\right) \stackrel{\diamond}{=} \mu(X) - \lim_{n} \mu \left( {\bigcup_{n} {A_{n}}^{c}\right) = \lim_{n} \left( \mu(X) - \mu({A_{n}}^{c}) \right) = \lim_{n} \mu (X \backslash {A_{n}}^{c}) = \lim_{n} \mu(A_{n})}\)

W miejscu \(\displaystyle{ \star}\) korzystamy z założenia, że dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ A_{n}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mu(\bigcup_{n} A_{n}) < \infty}\)
a w miejscu \(\displaystyle{ \diamond}\) korzystamy z ciągłości miary z dołu.

Czy wszystkie przejścia są prawdziwe?

Pozdrawiam.

Tak, wszystko gra.

Dziękuję, mam jeszcze jedno pytanie: w niektórych zadaniach zamiast skończoności miary jest założenie \(\displaystyle{ \mu(\bigcup_{n} A_{n}) < \infty}\) zamiast po prostu skończoności miary, czyli \(\displaystyle{ \mu(X) < \infty}\). Ale tutaj wychodzi implikacja (w prawo) prawda? Bo jeśli dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ A_{n}}\), to można wybrać taką, żeby w sumie po n pokryła naszą przestrzeń i nie trzeba tutaj nic specjalnie dowodzić prawda?

Przy okazji pytanie kolejne: Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą na przestrzeni mierzalnej i rozpatrujemy wstępującą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ B_{n}}\) z sigma ciała, to czy wtedy zawsze będzie istniała granica \(\displaystyle{ \lim_{n} \mu(B_{n})}\)i wtedy nasza granica jest równa zarówno górnej jak i tej dolnej? Pytanie trywialne - z moich notatek wynika, że tak właśnie jest, tylko właśnie nie widzę jeszcze dlaczego tak jest.

Pozdrawiam.

rodzinę wstępującą zbiorów możemy zapisać, że \(\displaystyle{ B_{n}= \bigcup_{n}B_{n}= \lim_{n} \mu B_{n}}\) co wynika z ciągłości miary z dołu.

jeśli mamy granicę to musi ona być równa granicy górnej i granicy dolnej - to chyba oczywiste