Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (\mu_k)}\) oraz \(\displaystyle{ (v_k)}\) będą sekwencją/ciągiem prawdopodobieństwa miar na \(\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathbb{B}(\mathbb{R}))}\). Rozważmy produkt miar na \(\displaystyle{ (\mathbb{R^{\infty}},\mathbb{B}(\mathbb{R^{\infty}}))}\)

\(\displaystyle{ \mu = \bigotimes_{k=1}^{\infty} \mu_k, \\[1ex]
v = \bigotimes_{k=1}^{\infty} v_k}\)

Udowodnij, że całka Hellingera
\(\displaystyle{ H(\mu, v)= \prod_{k=1}^{\infty} H(\mu_k,v_k)}\)

Może ktoś się spotkał z czymś takim i wie, w jaki sposób się do tego zabrać? Jakaś literatura lub podpowiedzi mile widziane. Dziękuję bardzo. Jeżeli pomyliłam dział, to proszę o przeniesienie.

likeme

Rozwiązanie Pani zadania wynika z definicji i własności całki Hellingera na produkcie miar prawdopodobieństwa.

Definiujemy najpierw całkę Hellingera dla dwóch rozłącznych miar prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \mu, v}\) na przestrzeni

\(\displaystyle{ (R, B(R)),}\)

takich że:

\(\displaystyle{ \mu(R) = v(R) = 1.}\)

i

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n} = B}\)

\(\displaystyle{ \{B_{n}: n\in N\} \subset B}\)

Tworzymy sumę:

\(\displaystyle{ S(\Delta) = \sum_{B\in \Delta}[\mu(B)\cdot v(B)]^{\frac12}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \Delta \in D,}\) zaś \(\displaystyle{ D}\) - przeliczalną rodziną wszystkich mierzalnych podziałów zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

Granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{\Delta \in D} S(\Delta) = \int [d\mu \cdot d v]^{\frac{1}{2}}}\) (1)

nazywamy całką Hellingera prawdopodobieństwa miar \(\displaystyle{ \mu, v.}\)


Z definicji całki Hellingera i pochodnej Radona-Nikodyma wynika, że

\(\displaystyle{ \int [d\mu_{1} \cdot d v_{1}]^{\frac{1}{2}}= \int \left[ \frac{d \mu_{1}}{d\mu}\cdot \frac{dv_{1}}{d\mu}\right] ^{\frac{1}{2}}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \frac{d \mu_{1}}{d\mu}, \frac{dv_{1}}{d\mu}}\) są pochodnymi Radona-Nikodyma.

a czy mógłby Pan polecić jakąś literaturę do tego? Czyli rozumiem, że to co Pan napisał wystarczy do dowodu tej własności?

To nie wystarczy, musi Pani w oparciu o własność całki Hellingera, którą podałem, a którą przyjmuje się jako jej drugą definicję - zastosować do produktu miar.

Proponuję książkę:

A.N. Shiryaev. Probability. Fourth Edition Springer 2012.