Matematyka.pl

Witam!
Jak obliczyć całkę typu \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \mathrm{sgn} \left[ \sin \left( \frac{1}{x}\right)\right] dx}\) ? To zadanie znalazłem w dziale z całką Lebesgue'a więc domyslam się, że jakoś trzeba ten fakt uwzględnić, tylko... nie bardzo wiem jak.

Wyznacz przedziały na których ten sinus jest dodatni, a na których ujemny

Na przedziałach \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{\pi (2n+2)},\frac{1}{\pi (2n+1)} \right)}\) jest dodatni, tak?

Na szybko zerkając - tak wygląda. Analogicznie - gdzie jest ujemny? Wtedy na tych przedziałach, gdzie jest dodatni funkcja wynosi \(\displaystyle{ 1}\), zaś tam gdzie ujemny jest to \(\displaystyle{ -1}\).

Zamieniasz wtedy całkę na sumę całek po tych przedziałach, a całkę z \(\displaystyle{ 1}\) i z \(\displaystyle{ -1}\) już łatwo policzyć (całka z \(\displaystyle{ 1}\) jest równa mierze Lebesgue'a zbioru, po którym całkujemy).