Witam, mam problem z taką całką :
\(\displaystyle{ Ps = \frac{1}{T} \cdot \int_{ \frac{-T}{2} }^{ \frac{T}{2} }s^2(t)dt}\)
\(\displaystyle{ s(t) =A \cdot \sin ( 2 \pi \frac{1}{T}t)}\)
Należy wykazać, że \(\displaystyle{ Ps =\frac{A^2}{2}}\).
Proszę o pomoc i z góry dziękuje
Całka oznaczona - wykazanie tożsamości
-
Tuna
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 21 paź 2016, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław, dolnośląskie
Całka oznaczona - wykazanie tożsamości
Ostatnio zmieniony 23 paź 2016, o 15:03 przez yorgin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
miodzio1988
Całka oznaczona - wykazanie tożsamości
Skorzystaj z
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x={1-\cos(2x) \over 2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x={1-\cos(2x) \over 2}}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Całka oznaczona - wykazanie tożsamości
Można i bez tego (choć nie trzeba). Podstawiając
\(\displaystyle{ u= \frac{2\pi}{T}t\\ \dd u= \frac{2\pi}{T}\dd t\\\dd t= \frac{T}{2\pi} \dd u}\)
otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{T} \cdot \int_{ \frac{-T}{2} }^{ \frac{T}{2} }s^2(t)dt= \frac{A^2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 u \ \dd u}\)
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 u \ \dd u= \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 u \ \dd u}\)
oraz z jedynki trygonometrycznej mamy
\(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}(\sin^2 u+\cos^2 u) \ \dd u= 2\pi}\)
\(\displaystyle{ u= \frac{2\pi}{T}t\\ \dd u= \frac{2\pi}{T}\dd t\\\dd t= \frac{T}{2\pi} \dd u}\)
otrzymujesz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{T} \cdot \int_{ \frac{-T}{2} }^{ \frac{T}{2} }s^2(t)dt= \frac{A^2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 u \ \dd u}\)
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 u \ \dd u= \int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 u \ \dd u}\)
oraz z jedynki trygonometrycznej mamy
\(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}(\sin^2 u+\cos^2 u) \ \dd u= 2\pi}\)