Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f \ge 0,f=0 (mod u)}\) będzie funkcją mierzalną. Udowodnić, że f jest całkowalna oraz \(\displaystyle{ \int_{R} f du=0}\).

Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją prostą.
Wówczas:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N}a_{n}1_{A_{n}},}\)
gdzie \(\displaystyle{ 1_{A_{n}}}\) jest funkcją charakterystyczną zbioru mierzalnego \(\displaystyle{ A_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ A_{i}\cap A_{j} = \varnothing, \ i < j,}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ f = 0 \pmod{u},}\) to \(\displaystyle{ a_{n}\neq 0 \Rightarrow u(A_{n}) = 0.}\)
Z definicji całki funkcji prostej mamy więc:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} f du = \sum_{n=1}^{N}a_{n}u(A_{n}) = 0.}\)

W przypadku ogólnym bierzemy ciąg \(\displaystyle{ (f_{n})_{n}}\) funkcji prostych nieujemnych zbieżny rosnąco do \(\displaystyle{ f.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ f = 0\pmod{u}}\) oraz \(\displaystyle{ 0\le f_{n} \le f,}\) to \(\displaystyle{ f_{n}=0\pmod{u},}\) więc z rozpatrzonego już przypadku:
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} f_{n}du = 0}\)
więc z definicji całki funkcji nieujemnej
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}f du = 0.}\)