Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) będzie ograniczoną funkcją mierzalną. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{\RR}fdu=\sup \left\{ \int_{\RR}gdu:g \le f,g\right\}}\).- jest mierzalną funkcją prostą.

Podaj jak na wykładzie była zdefiniowana całka, bo nie chce napisać czegoś co i tak Ci się potem nie przyda...

Niech \(\displaystyle{ A\in M}\).Całką Lebesgue'a z ograniczonej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ f:r \rightarrow R}\)na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) nazywamy wartość \(\displaystyle{ \int_{A}fdu= \int_{R}fII _{a}du}\).

to jest definicja całki po zbiorze, chodzi mi o ogolną definicję całki dla dowolnej funkcji mierzalnej

Całką Lebesgue'a z ograniczonej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ R}\) nazywamy wartość \(\displaystyle{ \int_{R}f(x)du(x)=\int_{R}fdu= \lim_{ n\to \infty }\int_{R}f _{u} du}\)
gdzie \(\displaystyle{ f _{n} :R \rightarrow R}\)dla \(\displaystyle{ n \in R}\) są mierzalnymi funkcjami prostymi oraz \(\displaystyle{ f _{n}}\)dąży jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\).

Pewnie ta definicja była tylko dla funkcji nieujemnych, bo w przeciwnym przypadku nie ma zbytnio sensu. No to szkic dowodu jest taki:

1. w jedną stronę jest oczwiste:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} f_nd\mu \le \int_{}^{} fd\mu}\)
przechodząc do granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \int_{}^{} f_nd\mu \le \int_{}^{} fd\mu}\)

2. Niech więc teraz \(\displaystyle{ 0 \le g \le f}\) będzie funkcją prostą, należy pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\int_f_n d\mu {}^{} \ge \int_g d\mu}\)
Po pierwsze \(\displaystyle{ g}\) jako funkcja prosta jest ograniczona, powiedzmy przez \(\displaystyle{ M}\).
Rozważamy najpierw \(\displaystyle{ Y=\{x:g(x)>0\}}\) oczywiście \(\displaystyle{ \mu(Y)< \infty}\) bo \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją prostą. Zatem możemy dla ciągu \(\displaystyle{ f_n}\) na \(\displaystyle{ Y}\) skorzystać z tw. Jegorowa. Dla ustalonego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) mamy \(\displaystyle{ A}\) o własności \(\displaystyle{ \mu(A)<\varepsilon}\) i \(\displaystyle{ f_n}\) zbiega na \(\displaystyle{ Y \backslash A}\) jednostajnie do \(\displaystyle{ f}\). Bierzemy teraz odpowiedni duże \(\displaystyle{ N}\) tak by dla \(\displaystyle{ n>N}\) \(\displaystyle{ f_n}\) było bliżej niż \(\displaystyle{ \varepsilon}\) od \(\displaystyle{ f}\). Po krótkim szacowaniu dostaniemy, że
\(\displaystyle{ \int_{}^{} gd\mu \le \int_{}^{} f_nd\mu+\varepsilon(M+\mu(Y))}\)
czyli przechodząc z \(\displaystyle{ \varepsilon}\) do zera mamy tezę.

Dziękuje.