Matematyka.pl

Prosiłabym o pomoc w policzeniu z definicji następującej całki Lebesgue'a

\(\displaystyle{ \int\limits_{\left\langle 0,\frac{1}{3} \right\rangle}f\ dl}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\) bo mi jakoś nie chce dobry wynik wyjść. Niby łatwa całka powinno elegancko wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{4 \cdot 81}}\) ale konstruuję ciąg funkcji prostych to wychodzi mi ciągle \(\displaystyle{ \frac{1}{81}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{1}{8 \cdot 81}}\) a prawidłowy wynik za chiny ludowe nie chce jakoś wyjść...

Co ja na to poradzę? Mi się nie chce tego liczyć. Kto wam każe liczyć całkę względem miary Lebesgue'a? Ona ma istotne znaczenie teoretyczne nie rachunkowe.
Próbowałaś podzielić ten przedział na równe części i tak zbudować funkcje proste?Ewentualne uzasadnienie może korzystać z twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanej zbieżności.

Najprościej chyba wziąć ciąg funkcji prostych \(\displaystyle{ f_n}\) postaci
\(\displaystyle{ f_n(x) = \left(\frac j{3n}\right)^3, \text{ gdy } x \in [\frac j{3n}, \frac {j+1}{3n})}\), dla \(\displaystyle{ j=0,1,\dots,n-1}\).
Jeśli chcemy, żeby ten ciąg był monotoniczny, to zawsze możemy brać tylko takie \(\displaystyle{ n}\), które są potęgami dwójki.
Policzenie całki \(\displaystyle{ \int_0^{\tfrac 13} f_n\, dl}\) sprowadza się do policzenia sumy postaci \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1} j^3}\) ,
co jest chyba największą trudnością techniczną w tym zadaniu. Można udowodnić (np. indukcyjnie), że
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1} j^3 = \tfrac {(N-1)^2N^2}{4}}\).

Czy ta podpowiedź wystarcza?