Matematyka.pl

Cześć, mam do rozwiązania takie zadania. Trzeba tutaj skorzystać z twierdzeń Lebesgue'a o zbieżności. Problem w tym, że nie bardzo wiem przez co mogłabym tutaj ograniczać.

a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{n} \left( 1-\frac{x}{n} \right) ^n e^{ \frac{x}{2} }dx}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} \frac{\arctan \left( nx \right) }{1+x^2} dx}\)

c)\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{R} e^{-|x|}\sin ^n xdx}\)

I jeszcze przy okazji jedno pytanie.
Mam taką miarę:
\(\displaystyle{ \mu \left( A \right) := \delta_{ \frac{\pi}{2}} \left( A \right)}\)
Dlaczego całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} x^2 d\mu \left( x \right)}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi ^2}{4}}\)?

arcus tangensa zawsze można przez \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), a sinusa przez \(\displaystyle{ 1}\)

Jak masz coś takiego

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{n} f_n (x)dx}\)

to to się równa

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{\mathbb{R}} \mathbf{1}_{[0,n]} f_n (x)dx}\)

teraz widać co szacować.

czarna_mamba7 pisze: Mam taką miarę:
\(\displaystyle{ \mu (A):= \delta_{ \frac{\pi}{2}} (A)}\)
Dlaczego całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} x^2 d\mu (x)}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi ^2}{4}}\)?

A wiesz, co to jest \(\displaystyle{ \delta_\frac{\pi}{2}}\)? Bo tutaj się kryje odpowiedź

a) Ciąg \(\displaystyle{ \left((1-\frac{x}{n})^n\right)}\) jest rosnący czyli tw o zbieżności monotonicznej.