Matematyka.pl

Witam niedawno na egzaminie miałem zadanie, z którym sobie nie poradziłem, a bardzo mnie nurtuje.
Mamy \(\displaystyle{ \mu= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a}{ 3^{k} } \delta_{\{k\}}}\) , gdzie
\(\displaystyle{ \delta_{\{k\}} ft( A\right)= \begin{cases} 1 : k A \\ 0 : k A\end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{k=1}^{\infty} \frac{a}{ 3^{k} } \delta_{\{k\}} \mbox{d}k}\)

Hmmm, .... jeśli \(\displaystyle{ \int_{k=1}^{\infty} \frac{a}{ 3^{k} } \delta_{\{k\}} \,\mbox{d}k}\) oznacza całkę względem miary Lebesgue'a na prostej, to odpowiedź jest \(\displaystyle{ +\infty}\) (a dokładniej: delta Dirac'a nie jest całkowalna). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ \int_{k=1}^{\infty} \frac{a}{ 3^{k} } \delta_{\{k\}} \,\mbox{d}k\ =\ \int_{\mathbb{R}}\,d\mu}\), to wówczas
\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}\,d\mu\,=\,\int_{\mathbb{R}}\,1\,d\mu\,=\,
\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{a}{3^k}\,=\,\frac12a}\)

Pozdrawiam...