Sprawdzić, czy istnieje całka Lebesgue'a z podanej funkcji i jeśli istnieje, obliczyć ją.
\(\displaystyle{ f:[0, \infty ) \rightarrow \RR \\
f(x)= \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{n} \frac{1}{x} = \lim_{ n\to \infty} \ln |x|= \lim_{ n\to \infty} \ln |n|-\ln 0= \infty}\)
Granica wyszła \(\displaystyle{ \infty}\). Jak teraz poprawnie uzasadnić, że nie jest to całka Lebesgue'a?
Całka Lebesgue'a
-
Aspik
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 5 lip 2018, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 9 razy
Całka Lebesgue'a
Ostatnio zmieniony 21 cze 2019, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Całka Lebesgue'a
Z teorii całki Lebesque'a, jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją nieujemną, to wprowadzamy funkcję mierzalną i ograniczoną
\(\displaystyle{ [f(x)]_{p} = \begin{cases} f(x) \ \ \mbox{gdy} \ \ f(x)\leq p \\ p \ \ \mbox{gdy} \ \ f(x)>p \end{cases}}\)
i całkę Lebesque'a funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) definiujemy jako granicę całek ciągu funkcji \(\displaystyle{ [f(x)]_{p}:}\)
\(\displaystyle{ \int_{(E)} f(x)dx = \lim_{p\to \infty}\int_{(E)}[ f(x)]_{p} dx,}\)
jeżeli ta granica istnieje i jest skończona; w przeciwnym przypadku uważamy, że całka ta nie istnieje.
Stosując twierdzenie do całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ [f(x)]_{p} = \begin{cases} \frac{1}{x} \ \ \mbox{gdy} \ \ 1/p \leq x \leq 1 \\ p \ \ \mbox{gdy} \ \ 0< x < \frac{1}{p} \end{cases}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx = \lim_{p\to \infty} \int_{0}^{1}\left[\frac{1}{x} \right]_{p}dx = 1 + \lim_{p \to \infty} \int_{\frac{1}{p}}^{1}\frac{1}{x} dx= 1 +\lim_{p\to \infty} \left[\ln(x) \right]_{\frac{1}{p}}^{1} =\\ = 1 +\lim_{p\to \infty} \ln(p) = +\infty}\)
Całkę funkcji \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{x} \right] _{p}}\) obliczyliśmy w zwykły sposób jako całkę Riemanna.
Uzasadnia to twierdzenie:
"Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągła i ściśle monotoniczną w przedziale \(\displaystyle{ [a, b],}\) to całka Lebesque'a jest równa całce Riemanna."
Wypadałoby udowodnić to twierdzenie.
\(\displaystyle{ [f(x)]_{p} = \begin{cases} f(x) \ \ \mbox{gdy} \ \ f(x)\leq p \\ p \ \ \mbox{gdy} \ \ f(x)>p \end{cases}}\)
i całkę Lebesque'a funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) definiujemy jako granicę całek ciągu funkcji \(\displaystyle{ [f(x)]_{p}:}\)
\(\displaystyle{ \int_{(E)} f(x)dx = \lim_{p\to \infty}\int_{(E)}[ f(x)]_{p} dx,}\)
jeżeli ta granica istnieje i jest skończona; w przeciwnym przypadku uważamy, że całka ta nie istnieje.
Stosując twierdzenie do całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ [f(x)]_{p} = \begin{cases} \frac{1}{x} \ \ \mbox{gdy} \ \ 1/p \leq x \leq 1 \\ p \ \ \mbox{gdy} \ \ 0< x < \frac{1}{p} \end{cases}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx = \lim_{p\to \infty} \int_{0}^{1}\left[\frac{1}{x} \right]_{p}dx = 1 + \lim_{p \to \infty} \int_{\frac{1}{p}}^{1}\frac{1}{x} dx= 1 +\lim_{p\to \infty} \left[\ln(x) \right]_{\frac{1}{p}}^{1} =\\ = 1 +\lim_{p\to \infty} \ln(p) = +\infty}\)
Całkę funkcji \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{x} \right] _{p}}\) obliczyliśmy w zwykły sposób jako całkę Riemanna.
Uzasadnia to twierdzenie:
"Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągła i ściśle monotoniczną w przedziale \(\displaystyle{ [a, b],}\) to całka Lebesque'a jest równa całce Riemanna."
Wypadałoby udowodnić to twierdzenie.