Znaleźć całkę Lebesgue'a \(\displaystyle{ I= \int f(t)dm(t)}\) względem \(\displaystyle{ 1}\)-wymiarowej miary Lebesgue'a na zbiorze \(\displaystyle{ R}\), jeśli \(\displaystyle{ f(t)}\) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ f(t) = \left\{\begin{array}{l} 2^{-n} \ \ \ \ na \ zbiorze\ [-n, 1-n] \setminus \QQ \\3^{-n} \ \ \ \ na \ zbiorze\ [-n, 1-n] \cap \QQ \\ 4te^{ -t^{2} } \ \ dla \ t>0 \end{array}\right.}\)
Całka Lebesgue'a
-
cotton-eye-joe
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 17 sty 2010, o 22:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 2 razy
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Całka Lebesgue'a
Funkcja ta poza zbiorem miary zero jest równa sumie funkcji:
\(\displaystyle{ f(t) =\begin{cases} 2^{-n}, \ t\in [-n, 1-n],\\ 0,\ \text{w pozostałych przypadkach}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ g(t) = \begin{cases} 4te^{-t^{2}}, \ t > 0,\\ 0,\ \text{w pozostałych przypadkach}\end{cases}}\)
Całkę pierwszej z definicji całki Lebesgue'a zamieniamy na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}}\)
a całkę drugiej, z równości całki Lebesgue'a i Riemanna na całkę niewłaściwą:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}4te^{-t^{2}}dt}\)
którą liczymy podstawieniem \(\displaystyle{ x= t^{2}.}\)
\(\displaystyle{ f(t) =\begin{cases} 2^{-n}, \ t\in [-n, 1-n],\\ 0,\ \text{w pozostałych przypadkach}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ g(t) = \begin{cases} 4te^{-t^{2}}, \ t > 0,\\ 0,\ \text{w pozostałych przypadkach}\end{cases}}\)
Całkę pierwszej z definicji całki Lebesgue'a zamieniamy na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}}\)
a całkę drugiej, z równości całki Lebesgue'a i Riemanna na całkę niewłaściwą:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}4te^{-t^{2}}dt}\)
którą liczymy podstawieniem \(\displaystyle{ x= t^{2}.}\)