Matematyka.pl

Czy jest jakieś zgrabne twierdzonko, które by orzekało o równości całki względem miary Lebesgue'a oraz całki niewłaściwej
\(\displaystyle{ \int _{\mathbb {R}}f \mbox d\mu = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mbox d x}\)?
Tę równość się bardzo często milcząco zakłada w rachunku prawdopodobieństwa...

Tylko, że mi chodzi o równość pomiędzy całką względem miary Lebesgue'a, a całką niewłaściwą. To, że funkcja jest całkowalna na każdym przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) nie oznacza jeszcze nawet, że \(\displaystyle{ \int_{-\infty} ^{+\infty}f(x) \mbox dx}\) istnieje. \(\displaystyle{ \sin}\) jest całkowalny na każdym przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), ale \(\displaystyle{ \int_{-\infty} ^{+\infty} \sin(x) \mbox dx}\) nie istnieje, prawda?

To twierdzenie jest nieprawdziwe, przynajmniej w tej postaci... Przykład: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}, f(0)=1}\). Wtedy całka po prawej wynosi \(\displaystyle{ \pi}\) a ta po lewej nie istnieje, bo po rozłożeniu \(\displaystyle{ f_+-f_-}\) i policzeniu całek mamy \(\displaystyle{ \infty - \infty}\).

Jednak może to Ci pomoże:

Nie rozumiem, przecież obie całki niewłaściwe są zbieżne w tym przykładzie (inaczej nie byłaby zbieżna ta "podwójnie niewłaściwa" całka). O co chodzi?

Kaf pisze:To twierdzenie jest nieprawdziwe, przynajmniej w tej postaci... Przykład: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}, f(0)=1}\). Wtedy całka po prawej wynosi \(\displaystyle{ \pi}\) a ta po lewej nie istnieje, bo po rozłożeniu \(\displaystyle{ f_+-f_-}\) i policzeniu całek mamy \(\displaystyle{ \infty - \infty}\).

Właśnie o to mi chodziło, że może istnieć całka niewłaściwa \(\displaystyle{ \int _{-\infty}^{\infty} f(x) \mbox d x}\), a całka Lebesgue'a \(\displaystyle{ \int_{\mathbb R} f \mbox d \mu}\) - nie.

Kaf pisze:Jednak może to Ci pomoże:

- na tej stronie stosują dziwne podejście z niepodpisanymi całkami: \(\displaystyle{ \int f \mbox d x}\). My na studiach od początku definiowaliśmy całkę Lebesgue'a po jakimś zbiorze: \(\displaystyle{ \int _A f \mbox d \mu.}\) Poza tym używają dziwnego oznaczenia na całkę Lebesgue'a: \(\displaystyle{ \int_0 ^ n f \mbox dx.}\) Moim zdaniem to powinno oznaczać całkę Riemanna. Całkę Lebegue'a bym oznaczył raczej \(\displaystyle{ \int_{[0, n]} f \mbox dx.}\) Ale postaram się przeanalizować to co tam napisali.

Czy dobrze rozumiem, że implikacja jest taka: jeżeli istnieje całka \(\displaystyle{ \int_{\mathbb R} f \mbox d \mu}\) to istnieje też całka \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \mbox d x}\)?

Czy dobrze rozumiem, że implikacja jest taka: jeżeli istnieje całka \(\displaystyle{ \int_{\mathbb R} f \mbox d \mu}\) to istnieje też całka \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \mbox d x}\)?

Nie, kontrprzykład: weźmy
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 1 \text{ gdy } x \in \QQ \\ 0 \text{ poza tym} \end{cases}}\)

Całka Riemanna \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \,\dd x}\) tej funkcji nie istnieje, natomiast całka Lebesgue'a
\(\displaystyle{ \int_{\RR}^{} f \dd \mu}\) z tej funkcji istnieje i jest równa zero.

Dobra, czyli zakładamy, że \(\displaystyle{ f:[0, +\infty) \to \mathbb{R}}\) jest nieujemna. Zakładam, że jest całkowalna na \(\displaystyle{ [0, +\infty)}\)
Kładziemy
\(\displaystyle{ f_n:=f \chi_{[0,n]}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ f_n \to f, \ n\to \infty}\) oraz \(\displaystyle{ f_n \leqslant f_{n+1}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.
Ponieważ
\(\displaystyle{ \int_{[0, n]} f \mbox d \mu =\int _{[0, n]}f_n \mbox d \mu = \int_{[0, +\infty)} f_n \mbox d \mu,}\)
to mamy następujący ciąg równości
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int_{[0, n]}f \mbox d\mu =\lim_{n \to \infty} \int_{[0, +\infty)}f_n \mbox d \mu=\int_{[0, +\infty)}\lim_{n \to \infty}f_n \mbox d \mu=\int_{[0, +\infty)}f \mbox d \mu,}\)
gdzie w przedostatniej równości korzystam z twierdzenia o zbieżności monotonicznej.

Udowodniłem, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int _{[0,n]} f \mbox d \mu =\int _{[0, +\infty)} f \mbox d \mu}\)
Jeżeli dodatkowo założę, że istnieje \(\displaystyle{ \int _{0}^{\infty} f(x) \mbox dx ,}\) to z wcześniejszego łatwo uzyskam
\(\displaystyle{ \int _{[0, +\infty)} f \mbox d\mu =\int _{0}^{+\infty} f(x) \mbox dx.}\)
W analogiczny sposób, przy analogicznych założeniach mogę pokazać, że
\(\displaystyle{ \int_{(-\infty, 0] }f \mbox d \mu =\int _{-\infty} ^{0} f(x) \mbox dx.}\)
Zatem twierdzenie powinno brzmieć tak:
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \to \mathbb R}\) nieujemna i całkowalna w sensie Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \mathbb R.}\) Jeżeli istnieje \(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{+\infty} f(x) \mbox dx,}\) to wtedy
\(\displaystyle{ \int _{\mathbb R} f \mbox d \mu =\int_{- \infty}^{+\infty} f(x) \mbox dx,}\) czy tak?