Matematyka.pl

Cześć,

Dla \(\displaystyle{ y>0}\) zdefiniujmy \(\displaystyle{ a=\left(1-\sqrt{y}\right)^2, b=\left(1+\sqrt{y}\right)^2}\). Dana jest miara o gęstości:

\(\displaystyle{ \mu(x)=\frac{1}{2\pi xy}\sqrt{(b-a)(x-a)}\mathbf{1}_{\left[a;b\right]}}\)

oraz atomie w zerze o wadze \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{y}}\) dla \(\displaystyle{ y>1}\).

Nie rozumiem co mamy w tym konkretnym przykładzie na myśli używając słowa atom oraz waga.. Ktoś ma jakiś pomysł, o co chodzi?

To bardzo mylący sposób zapisu następującej miary

• \(\displaystyle{ \mu(A) = (1-\tfrac{1}{y})\delta_0(A) + \int_{(a,b]\cap A} \tfrac{1}{2\pi xy} \sqrt{(b-a)(x-a)}{\rm d}y,}\)

przy czym \(\displaystyle{ \delta_0(A) = 1}\) gdy \(\displaystyle{ 0\in A}\) oraz \(\displaystyle{ \delta_0(A) = 0}\) w przeciwnym przypadku.

Autor rozumie tu przez wagę miary skupionej w jednym punkcie wartość, którą przyjmuje ona na tym punkcie (równoważnie, na całej przestrzeni).

Bardzo serdecznie dziękuję. Natomiast mam pytanie jeszcze o to, dlaczego Twoja całka jest po \(\displaystyle{ y}\) nie po \(\displaystyle{ x}\), skoro\(\displaystyle{ y}\) to parametr, a \(\displaystyle{ x}\) zmienna

squared pisze:Bardzo serdecznie dziękuję. Natomiast mam pytanie jeszcze o to, dlaczego Twoja całka jest po \(\displaystyle{ y}\) nie po \(\displaystyle{ x}\), skoro\(\displaystyle{ y}\) to parametr, a \(\displaystyle{ x}\) zmienna

Dzięki za czujność! Oczywiście powinno być po \(\displaystyle{ x}\).