Matematyka.pl

To tylko dwucyfrowe o cyfrze jedności równej 9.

Proszę o uzasadnienie.

Odrzucam liczby jednocyfrowe gdyż nie istnieje zarówno suma, jak i iloczyn wszystkich ich cyfr.

Skoro dla pozostałych naturalnych suma ich cyfr jest od nich mniejsza, to szukane liczby nie mogą zawierać cyfry 0.

1) szukane liczby dwucyfrowe muszą spełnić zależność:
\(\displaystyle{ 10a+b=a+b+ab\\
9a=ab\\
b=9}\)
i stąd moja odpowiedź z poprzedniego postu.

2) szukane liczby trójcyfrowe muszą spełnić zależność:
\(\displaystyle{ 100a+10b+c=a+b+c+abc\\
99a+9b=abc\\
c= \frac{99}{b}+ \frac{9}{a} \ge 12}\)
więc tu brak rozwiązania.

3) szukane liczby czterocyfrowe muszą spełnić zależność:
\(\displaystyle{ 1000a+100b+10c+d=a+b+c+d+abcd\\
999a+99b+9c=abcd\\
d= \frac{999}{bc}+ \frac{99}{ac}+ \frac{9}{ab} > 13}\)
więc tu brak rozwiązania.

4) zwiększając liczbę cyfr rośnie wyliczana potencjalna cyfra jedności, a ta już od przypadku 2) jest większa od 9. Ergo, nie ma więcej rozwiązań.

kerajs pisze: ↑12 lis 2022, o 07:46 Odrzucam liczby jednocyfrowe gdyż nie istnieje zarówno suma, jak i iloczyn wszystkich ich cyfr.

To stwierdzenie jest co najmniej wątpliwe

Jest ono prawdziwe przy definicji sumy i iloczynu którą stosuję.

Jednak ci, dla których te działania mogą być jednoargumentowe, nie powinni mieć kłopotu z rozwiązaniem zadania dla liczb jednocyfrowych.