Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A = \{ x^3+y^2 : x, y \in \{ 1,2,3,... \}\}}\). Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ \NN \setminus A}\) jest nieskończony i że dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\) istnieje \(\displaystyle{ m}\) kolejnych liczb naturalnych elementów \(\displaystyle{ \NN \setminus A}\).

Ustalmy \(\displaystyle{ n \in \NN}\). W przedziale \(\displaystyle{ [1, n^6]}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ n^2}\) sześcianów i \(\displaystyle{ n^3}\) kwadratów, zatem

\(\displaystyle{ |A \cap [1, n^6]| \le n^2 \cdot n^3 = n^5}\).

Nietrudno zauważyć, że zachodzi w istocie ostra nierówność, a stąd pewne \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb z przedziału \(\displaystyle{ [1, n^6]}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\).

A co to jest ten zbiór \(\displaystyle{ N}\)

mol_ksiazkowy nie lubi używać \(\displaystyle{ \NN.}\)

Dasio11 pisze: ↑1 sty 2024, o 19:22 stąd pewne \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb z przedziału \(\displaystyle{ [1, n^6]}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\).

Skąd wiemy, że akurat kolejnych?

Gdyby wśród każdych \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb znalazł się element \(\displaystyle{ A}\), to taki element leżałby w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ [1, n]}\), \(\displaystyle{ [n+1, 2n]}\), \(\displaystyle{ [2n+1, 3n]}\) etc. i w sumie tych elementów znalazłoby się \(\displaystyle{ \frac{n^6}{n} = n^5}\).