Matematyka.pl

Na tablicy są liczby \(\displaystyle{ 1000, 1001, ..., 2999}\). W każdym kroku można zmazać dowolne \(\displaystyle{ a , b}\) i zastąpić je liczbą \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \min\{ a, b\}}\). Po \(\displaystyle{ 1999 }\) takich operacjach została na tablicy liczba \(\displaystyle{ c}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ c<1}\).

Co ciekawe jak weźmiemy np. cztery dowolne liczby po kolei np:

\(\displaystyle{ 4,5,6,7}\)

to:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} = \frac{319}{420} }\)

teraz zróbmy pierwszą operację zadaniową: z \(\displaystyle{ 4 \wedge 5=2}\)

mamy:

\(\displaystyle{ 2,6,7}\)


\(\displaystyle{ \frac{1}{2} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} = \frac{17}{21} }\)

teraz weźmy:

\(\displaystyle{ 2 \wedge 6=1}\)

mamy:

\(\displaystyle{ 1,7}\)

\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{7} = \frac{8}{7} }\)

teraz zostanie nam z jedynki i siódemki:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\)

odwrotność to:

\(\displaystyle{ 2}\)

jak widać:

\(\displaystyle{ \frac{319}{420}< \frac{17}{21} < \frac{8}{7}<2}\)

Jak widać ciąg odwrotności silnie rośnie sprawdzałem to dla wielu przykładów i zachodzi

więc jeżeli:

suma odwrotności układu wyjściowego jest większa od jeden a potem już tylko rośnie to po \(\displaystyle{ 1999}\) iteracjach odwrotność liczby \(\displaystyle{ c}\) będzie mocno większa ( bo tylko ona zostanie) od jeden a więc \(\displaystyle{ c<1}\)...

arek1357 pisze: ↑13 gru 2023, o 18:29Jak widać ciąg odwrotności silnie rośnie sprawdzałem to dla wielu przykładów i zachodzi

Bardzo matematycznie przekonujący argument...

JK

Patrzcie Panowie mądrzy ja sobie pisałem tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \frac{1}{7} \le \frac{2}{2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \le \frac{2}{3} }\)

.................................................................

itd.....................................

co skłoniło mnie ,żeby to uogólnić:

niech: \(\displaystyle{ n<m}\)

więc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{m} + \frac{1}{m} \le \frac{2}{\min\left\{ n,m\right\}=n } }\)

Jak będziecie mieć problem z formalnym dowodem tego arcytrudnego faktu to wyślę was na korki do Jakuba G...

(zawiozę na taczkach osobiście i posprzątam zrobię koniec z pewną epoką na tym forum)...