Matematyka.pl

Udowodnić, że w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1}\) są dowolnie duże sekwencje kolejnych wyrazów liczb złożonych.

Jeżeli \(\displaystyle{ p \mid \left( n^2+1\right) }\) to \(\displaystyle{ p \mid \left( (n+kp)^2+1\right) }\), bo \(\displaystyle{ (n+kp)^2 + 1 = (n^2+1) + 2nkp + (kp)^2,}\) gdzie \(\displaystyle{ k,p \in \ZZ.}\)

Teraz dla dowodu zadania załóżmy nie wprost, że istnieje najdłuższa, skończona sekwencja (długości \(\displaystyle{ k}\)) kolejnych liczb złożonych postaci \(\displaystyle{ n^2+1.}\) Niech \(\displaystyle{ n_0}\) będzie liczbą spełniającą warunek, że \(\displaystyle{ n_0^2 +1, (n_0+1)^2+1, \ldots, (n_0+k-1)^2+1}\) są liczbami złożonymi, a \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_k}\) są odpowiednio ich czynnikami. Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ t = p_1p_2 \cdots p_k.}\)
Wówczas \(\displaystyle{ (n_0+t)^2 +1, (n_0+1+t)^2+1, \ldots, (n_0+k-1+t)^2+1}\) również mają odpowiednio \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_k}\) jako czynniki (pierwsze zdanie mojej odpowiedzi), ale żeby założenie nie wprost było prawdziwe musielibyśmy mieć \(\displaystyle{ (n_0+k-1+t+1)^2+1}\) pierwsze. Jeżeli domnożymy tę liczbę do \(\displaystyle{ t}\), \(\displaystyle{ t \cdot \left( (n_0+k-1+t+1)^2+1\right) = t_1}\) to wóczas liczby:

\(\displaystyle{ (n_0+t+t_1)^2 +1, (n_0+1+t+t_1)^2+1, \ldots, (n_0+k-1+t+t_1)^2+1, (n_0+k+t+t_1)^2+1}\) dają nam sekwencję \(\displaystyle{ k+1}\) liczb złożonych tej postaci, co jest sprzeczne z założeniem nie wprost i kończy dowód.

Przepraszam, że dowód jest zagmatwany, nie mam pomysłu jak go ładniej zredagować.

Ładne rozwiązanie.

Po wykazaniu wstępnej obserwacji można było od razu zdefiniować całą sekwencję, zamiast wydłużać ją po jednym elemencie: przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\) niech \(\displaystyle{ a_j = j^2+1}\) i \(\displaystyle{ t = a_1 a_2 \ldots a_k}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ j = 1, \ldots, k}\) liczba \(\displaystyle{ (t+j)^2+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a_j}\) i jest od niej większa, a zatem jest złożona. Stąd \(\displaystyle{ (t+1)^2+1, \ldots, (t+k)^2+1}\) jest sekwencją długości \(\displaystyle{ k}\) liczb złożonych.

Można też \(\displaystyle{ n=m!+j }\) gdy \(\displaystyle{ j=1,...,k }\), a wtedy \(\displaystyle{ n^2+1 }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ j^2+1 }\) gdy \(\displaystyle{ m> k^2+1}\) (\(\displaystyle{ k}\) jest ustalone).

Dodano po 1 godzinie 5 minutach 4 sekundach:

To jest to samo rozwiązanie, tylko zamiast \(\displaystyle{ t}\) jest \(\displaystyle{ m!}\) (czyli duża wielokrotność \(\displaystyle{ t}\)).