Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a,b, c, d}\) są liczbami naturalnymi i \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze i \(\displaystyle{ \frac{c^2+d^2}{a} = \frac{cd}{b}}\) , to \(\displaystyle{ \sqrt{a+2b} }\) jest liczbą całkowitą.

\(\displaystyle{
\frac{c^2 + d^2}{a} = \frac{cd}{b}\\
b\left(c^2+d^2\right) = acd\\
}\)
skoro \(\displaystyle{ a, b}\) są względnie pierwsze, to \(\displaystyle{ cd}\) musi być podzielne przez \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ c^2 + d^2}\) przez \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{
\frac{c^2+d^2}{a} = \frac{cd}{b}\\
\frac{(c+d)^2}{a} - \frac{2cd}{a} = \frac{cd}{b}\\
\frac{(c+d)^2}{a} = \frac{cd}{b} + \frac{2cd}{a}\\
\frac{(c+d)^2}{a} = \frac{ cd(a+2b) }{ab}\\
(c+d)^2 = \frac{ cd(a+2b) }{b}\\
\sqrt{(c+d)^2} = \sqrt{\frac{ cd }{b}\cdot (a+2b)}\\
c+d = \sqrt{\frac{ cd }{b}}\sqrt{a+2b}\\
c+d \in \NN, \frac{cd}{b} \in \NN
}\)

do tego miejsca doszedłem i się zablokowałem, może ktoś ruszy dalej

A może \(\displaystyle{ \frac{cd}{b}}\) i \(\displaystyle{ a+2b }\) są względnie pierwsze (w razie konieczności można założyć, że \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) są) ?
np \(\displaystyle{ a=5 }\)
\(\displaystyle{ b=c=2 }\)
\(\displaystyle{ d=1 }\)

Warunek \(\displaystyle{ \frac{c^2+d^2}{a}= \frac{c \cdot d}{b} }\) nie jest konieczny

np. \(\displaystyle{ a=25}\), \(\displaystyle{ b=12}\), \(\displaystyle{ c=2}\), \(\displaystyle{ d=36}\)

Dodano po 16 godzinach 35 minutach 27 sekundach:
A gdyby tak...
\(\displaystyle{ a=b^2+1}\)

ten warunek jest w treści zadania
a skąd niby wziąłeś \(\displaystyle{ a = b^2+1}\)?

Nie zrozumiałem. Pytasz czy warunek jest w treści zadania? Czy twierdzisz że jest w treści zadania?
Chodzi o to, że jest to jedno z rozwiazań gwarantujących to, że pierwiastek jest liczba naturalną. Niestety są jeszcze inne rozwiązania.

A czemu \(\displaystyle{ \frac{cd}{b} \in \NN}\)