Ułamek i podzielność
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13371
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Ułamek i podzielność
Udowodnić, że licznik nieskracalnego ułamka \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{ {p-1 \choose k}^2 } }\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\) (liczba pierwsza).
Ostatnio zmieniony 30 lis 2025, o 22:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
Ares7531
Re: Ułamek i podzielność
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{ {p-1 \choose k}^2 }= \sum_{k=0}^{p-1} {p-1 \choose k}^2 =\sum_{k=0}^{p-1}1 =p=0 \mod p}\)
więc dlaczego tak się dzieje bo:
\(\displaystyle{ {p-1\choose k} = \frac{(p-1)!}{(p-1-k)! \cdot k!}}\)
\(\displaystyle{ (p-1)!=-1}\)
\(\displaystyle{ (p-1-k)! \cdot k!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k \cdot 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1-k)=}\)
\(\displaystyle{ = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k \cdot (k+1) \cdot (k+2) \cdot ... \cdot (p-1) \cdot (-1)^{p-1-k}=(-1) \cdot (-1)^{p-1-k} \mod p }\)
a podniesione do drugiej minusy zamieni na plusy, cnd...
więc dlaczego tak się dzieje bo:
\(\displaystyle{ {p-1\choose k} = \frac{(p-1)!}{(p-1-k)! \cdot k!}}\)
\(\displaystyle{ (p-1)!=-1}\)
\(\displaystyle{ (p-1-k)! \cdot k!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k \cdot 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1-k)=}\)
\(\displaystyle{ = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k \cdot (k+1) \cdot (k+2) \cdot ... \cdot (p-1) \cdot (-1)^{p-1-k}=(-1) \cdot (-1)^{p-1-k} \mod p }\)
a podniesione do drugiej minusy zamieni na plusy, cnd...