Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

max123321 · Post autor: **max123321** » 18 sie 2023, o 00:28

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) dają resztę \(\displaystyle{ 3}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Post autor: **Dasio11** » 19 sie 2023, o 19:24

Wskazówka: załóż nie wprost, że \(\displaystyle{ p_1, \ldots, p_n}\) są wszystkimi liczbami pierwszymi dającymi resztę \(\displaystyle{ 3}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\), i rozważ \(\displaystyle{ N = 4 p_1 \cdot \ldots \cdot p_n - 1}\).

max123321 · Post autor: **max123321** » 20 sie 2023, o 15:59

Aha ok, to się wydaje analogiczne do tego dowodu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Ta Twoja liczba \(\displaystyle{ N}\), przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\). I chyba też jest pierwsza, bo nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą z tego zestawu. Gdyby była złożona to miałaby w rozkładzie jakieś z tych liczb pierwszych, a nie ma, więc nie może być złożona. Więc dostajemy nową liczbę pierwszą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\) i jest pierwsza, a więc nasze założenie, że takich liczb jest tylko skończenie wiele było fałszywe, czyli jest ich nieskończenie wiele.

Czy tak jest dobrze?

Jakub Gurak · Post autor: **Jakub Gurak** » 20 sie 2023, o 17:12

Niuans:

max123321 pisze: ↑20 sie 2023, o 15:59Ta Twoja liczba \(\displaystyle{ N}\) [...] I chyba też jest pierwsza, bo nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą z tego zestawu. Gdyby była złożona to miałaby w rozkładzie jakieś z tych liczb pierwszych

Mogą być liczby pierwsze dające przy dzieleniu przez cztery resztę jeden, a o tym zapomniałeś...

max123321 · Post autor: **max123321** » 21 sie 2023, o 14:17

Nie no, ta liczba, którą napisał Dasio to chyba zawsze przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3.

Mateusz5324 · Post autor: **Mateusz5324** » 21 sie 2023, o 14:23

max123321 pisze: ↑20 sie 2023, o 15:59 Aha ok, to się wydaje analogiczne do tego dowodu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Ta Twoja liczba \(\displaystyle{ N}\), przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\). I chyba też jest pierwsza, bo nie jest podzielna przez żadną liczbę pierwszą z tego zestawu. Gdyby była złożona to miałaby w rozkładzie jakieś z tych liczb pierwszych, a nie ma, więc nie może być złożona. Więc dostajemy nową liczbę pierwszą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\) i jest pierwsza, a więc nasze założenie, że takich liczb jest tylko skończenie wiele było fałszywe, czyli jest ich nieskończenie wiele.

Czy tak jest dobrze?

Niezbyt tzn. rozważ liczbę N modulo 4, więc:
\(\displaystyle{ N\equiv_4-1\equiv p_1\cdot p_2 ...}\)
Teraz liczba N jest nieparzysta, stąd wśród naszych liczb p znajdują się same liczby pierwsze nieparzyste. Teraz jeżeli każda z nich przystawała by do jedynki, to N też przystawałaby do jedynki, stąd wnioskujemy, że przynajmniej jedna z liczb p przystaje do jedynki, ale z minusem.

max123321 · Post autor: **max123321** » 21 sie 2023, o 14:24

Aha rozumiem, racja, ta liczba N, może nie być pierwsza, bo może być podzielna przez jakąś liczbę pierwszą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Ale to w takim razie nie wiem jak to ruszyć do przodu.

Mateusz5324 · Post autor: **Mateusz5324** » 21 sie 2023, o 14:47

max123321 pisze: ↑21 sie 2023, o 14:24 Aha rozumiem, racja, ta liczba N, może nie być pierwsza, bo może być podzielna przez jakąś liczbę pierwszą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Ale to w takim razie nie wiem jak to ruszyć do przodu.

Już jest skończone, gdyż rozpatrujesz tą liczbę N modulo 4. Nie jest ona podzielna przez żadną z liczb pierwszych użytych do jej stworzenia, ale jest podzielna przez jakąś liczbę pierwszą przystającą modulo cztery, do trójki, stąd takich liczb nie może być skończona liczba. Dowód jest gotowy.

Ja jednak polecam twierdzenie Dirichleta. Ono wprost mówi, kiedy takich liczb jest nieskończoność, kiedy 1, a kiedy 0.

max123321 · Post autor: **max123321** » 21 sie 2023, o 21:24

No nie, bo ta liczba może być podzielna przez jakąś liczbę pierwszą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 i wtedy nie dostaniemy nowej liczby pierwszej, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3.

Post autor: **Dasio11** » 21 sie 2023, o 21:31

Gdyby każdy dzielnik pierwszy liczby \(\displaystyle{ N}\) był postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\), to \(\displaystyle{ N}\), jako iloczyn tych dzielników w odpowiednich potęgach, również byłaby tej postaci. Ale nie jest, więc pewien dzielnik pierwszy jest postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\). Ten dzielnik nie jest jednak żadną z liczb \(\displaystyle{ p_1, \ldots, p_n}\), co jest sprzeczne z założeniem.

max123321 · Post autor: **max123321** » 21 sie 2023, o 22:14

Dasio jak zwykle profesjonalnie odpowiada

Dzięki za pomoc

Mateusz5324 · Post autor: **Mateusz5324** » 21 sie 2023, o 23:55

max123321 pisze: ↑21 sie 2023, o 21:24 No nie, bo ta liczba może być podzielna przez jakąś liczbę pierwszą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 i wtedy nie dostaniemy nowej liczby pierwszej, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3.

Max dostaniemy jeśli masz dowolną liczbę jedynek i masz je pomnożyć przez siebie, to zawsze uzyskasz 1, jednak aby móc uzyskać -1, trzeba pomnożyć jeszcze nieparzystą liczbę minus jedynek ( czyli minimum jedną ), stąd jeden ze składników pierwszych liczby N jest postaci: \(\displaystyle{ 4k+3}\). Napisałem w swoich poprzednich wiadomościach praktycznie to co Dasio, tylko innymi słowami. Chyba jednak jestem dużo gorszy w tłumaczeniu.

max123321 · Post autor: **max123321** » 22 sie 2023, o 01:50

No nie da się ukryć.

Matematyka.pl

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3

Re: Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które z dzielenia przez 4 dają resztę 3