Matematyka.pl

Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{a+b}= NWD(a,b) \\ \sqrt{a+c}= NWD(a,c) \\ \sqrt{c+b}= NWD(c,b) \end{cases}}\)

`a=b=c=2`

\(\displaystyle{ a=b=c=0}\)?

`NWWD(0,0)=0`?????

To było pytanie .
Dzięki za odpowiedź. Poziom wzburzenia mówi sam za siebie.

Dodano po 2 minutach 13 sekundach:
A Excel mi powiedział, że NWD(0,0) = 0 - gupi Excel?

Czy z każde z pojedynczych tych równan wynika, ze jedna z liczb dzieli drugą ?

mol_ksiazkowy pisze: ↑31 paź 2023, o 22:31 Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{a+b}= NWD(a,b) \\ \sqrt{a+c}= NWD(a,c) \\ \sqrt{c+b}= NWD(c,b) \end{cases}}\)

Będę przekształcał tylko 1 równość, gdyż z kolejnymi jest analogicznie:
Jeśli \(\displaystyle{ a=0}\), to \(\displaystyle{ b=1}\), a podstawiając to dalej w ostatnim równaniu uzyskamy \(\displaystyle{ NWD(0;0)=0}\), co oczywiście występować nie może.
Przekształćmy więc to z wiedzą o tym iż żadna z naszych zmiennych nie jest zerem.
\(\displaystyle{ v _{p}( \sqrt{a+b})=\min(v_p(a);v_p(b)) }\)
\(\displaystyle{ v_p(a+b) = 2\min(v_p(a);v_p(b))}\)
Jeśli \(\displaystyle{ v_p(a) \neq v_p(b)}\), to \(\displaystyle{ v_p(a+b)=\min(v_p(a);v_p(b))=2\min(v_p(a);v_p(b))}\). Stąd jedną z tych liczb jest \(\displaystyle{ 1}\), a po podstawieniu zobaczymy, że druga musi być 0, którym to być nie może.
Natomiast gdy \(\displaystyle{ v_p(a)=v_p(b)}\), to \(\displaystyle{ a=b}\), więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{2a} = a }\), \(\displaystyle{ a=0}\) być nie może, więc \(\displaystyle{ a=b=2}\), analogicznie dla pozostałych stąd jedynym rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ a=b=c=2}\).
PS. Obok każdego "\(\displaystyle{ v_p()}\)" w tym rozwiązaniu stoi dorozumiane dla każdego pierwszego \(\displaystyle{ p}\).