Matematyka.pl

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^2 - y^2 = 672}\) , w liczbach całkowitych .
T.W.

\(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=1 \cdot 2^5 \cdot 3 \cdot 7}\)
/ liczbę po prawej stronie przedstaw jako iloczyn liczb o tej samej parzystości i takim samym znaku

Wyszperałem ciekawy algorytm (procedurę ) wg którego można wyliczyć
\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) podanego równania w liczbach całkowitych .
\(\displaystyle{ (X+Y)(X-Y) = 672}\) ; ( z podanego iloczynu po prawej stronie wybrane liczby
o tej samej parzystości : \(\displaystyle{ 2, 4, 6, 8 12 , 14 , 16 , 24}\) , )
\(\displaystyle{ X = (672 / 2 + 2 ) / 2 = 169 ; Y = 169 - 2 = 167\\
X = ( 672 /4 + 4 ) / 2 = 86 ; Y = 86 - 4 = 82 \\
X = (678 /8 + 8 ) / 2 = 46 ; Y = 46 - 8 = 38 \\
X =( 672 /24 +24 ) / 2 = 26 ; Y = 26 - 24 = 2\\
X = ( 672 /12 +12 ) / 2 =34 ; Y = 34 - 22 = 22\\
X = ( 672 /14 +14 ) / 2 = 31 ; Y = 31 - 14 = 17 \\
X = ( 672 /6 + 6 ) / 2 = 59 ; Y = 59 - 6 = 53\\
X = (672 /16 +16 ) / 2 = 29 ; Y = 29 -16 = 13}\)
Czyli jest osiem rozwiązań w liczbach całkowitych .
Pozdrawiam T.W.

Ja widzę \(\displaystyle{ 32}\) rozwiązania

OK!
Jestem bardzo usatysfakcjonowany podaniem pełnego wykazu rozwiązań
par dla podanego równania z kwadratami. ( prawdopodobnie jest błąd w ostatniej pozycji
bo się nie zgadza wynik ) . Natomiast pytanie w tym równaniu dotyczyło podania rozwiązań
w liczbach całkowitych .
Z szacunkiem T.W.

@dzialka11o
A to nie są liczby całkowite?

Dzięki za wskazówki .
@dzialka11o
A to nie są liczby całkowite?
O jakie tu liczby chodzi , bo nie zrozumiałem tej kwestii .

Natomiast pytanie w tym równaniu z kwadratami dotyczyło podania rozwiązań
w " liczbach całkowitych" .
Domyślam się że dotyczy rozwiązań w " liczbach całkowitych dodatnich" .

( nie wiedziałem że liczba " zero " jest liczbą parzystą , a czy należy do liczbą naturalnych ? )

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Podaję fragment cytatu z bardzo starego podręcznika:
Odwrotnością tych samych liczb całkowitych dodatnich są takie same liczby całkowite o znaku ujemnym.
" Teoria liczb zajmuje się własnościami liczb naturalnych , czyli liczb całkowitych dodatnich ".
Jeśli można to proszę o sprostowanie nieścisłości ;
T.W.

dzialka11o pisze: ↑1 wrz 2023, o 21:26Natomiast pytanie w tym równaniu z kwadratami dotyczyło podania rozwiązań
w " liczbach całkowitych" .
Domyślam się że dotyczy rozwiązań w " liczbach całkowitych dodatnich" .

A skąd ten domysł? Dlaczego uważasz, że autor zadania myśli co innego, niż napisał?

dzialka11o pisze: ↑1 wrz 2023, o 21:26( nie wiedziałem że liczba " zero " jest liczbą parzystą , a czy należy do liczbą naturalnych ? )

Skoro dzieli się przez dwa, to jest liczbą parzystą. To, czy jest liczbą naturalną zależy od tego, jak się umówimy, ale zazwyczaj przyjmuje się, że jest.

dzialka11o pisze: ↑1 wrz 2023, o 21:26 Podaję fragment cytatu z bardzo starego podręcznika:
Odwrotnością tych samych liczb całkowitych dodatnich są takie same liczby całkowite o znaku ujemnym.
" Teoria liczb zajmuje się własnościami liczb naturalnych , czyli liczb całkowitych dodatnich ".

To świadczy tylko o tym, jakie wyobrażenie miał autor "bardzo starego podręcznika".

JK